[논문 리뷰] Nonlinear Fokker-Planck equations for Probability Measures on Path Space and Path-Distribution Dependent SDEs

Xing Huang, Michael Röckner외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 경로 공간 상의 확률측도에 대한 비선형 Fokker-Planck 방정식의 해가 존재하고 유일하며 정칙성을 갖는다는 것을 경로-분포에 의존하는 SDE를 통해 증명한다. 미약한 계수 조건 하에서 Harnack 부등식, 도함수 추정, Wasserstein 연속성을 유도하며, 고전 결과를 전체 경로 역사에 대한 분포적 의존성과 기억 효과를 갖는 시스템으로 확장한다.

ABSTRACT

By investigating path-distribution dependent stochastic differential equations, the following type of nonlinear Fokker--Planck equations for probability measures $(μ_t)_{t \geq 0}$ on the path space $\mathcal C:=C([-r_0,0];\mathbb R^d),$ is analyzed: $$\partial_t μ(t)=L_{t,μ_t}^*μ_t,\ \ t\ge 0,$$ where $μ(t)$ is the image of $μ_t$ under the projection $\mathcal C iξ\mapsto ξ(0)\in\mathbb R^d$, and $$L_{t,μ}(ξ):= \frac 1 2\sum_{i,j=1}^d a_{ij}(t,ξ,μ)\frac{\partial^2} {\partial_{ξ(0)_i} \partial_{ξ(0)_j}} +\sum_{i=1}^d b_i(t,ξ,μ)\frac{\partial}{\partial_{ξ(0)_i}},\ \ t\ge 0, ξ\in \mathcal C, μ\in \mathcal P^{\mathcal C}.$$ Under reasonable conditions on the coefficients $a_{ij}$ and $b_i$, the existence, uniqueness, Lipschitz continuity in Wasserstein distance, total variational norm and entropy, as well as derivative estimates are derived for the martingale solutions.

연구 동기 및 목표

• 경로-분포에 의존하는 SDE에 의해 유도되는 경로 공간 상의 확률측도에 대한 비선형 Fokker-Planck 방정식을 분석한다.
• 미약한 계수 조건 하에서 마틴갈 해의 존재성, 유일성 및 정칙성을 확립한다.
• 측도의 진화에 대해 Wasserstein 거리, 총변동 노름, 엔트로피에서의 정량적 추정을 도출한다.
• 경로 의존성과 분포 영향을 받는 확산 과정에 대해 Harnack 및 도함수 추정을 확장한다.

제안 방법

• 경로 공간 $\mathscr{C} = C([-r_0,0]; \mathbb{R}^d)$ 상에서 현재 경로와 그 법칙에 의존하는 계수를 갖는 비선형 Fokker-Planck 방정식을 수립한다.
• 경로-분포에 의존하는 SDE를 도입한다: $\text{d}X(t) = \bar{b}(t,X_t)\text{d}t + \sigma(t)\text{d}W(t)$, 여기서 비율은 경로 세그먼트의 법칙에 의존한다.
• 측도 변화 기법을 통한 커플링을 적용하여 관련 준군에 대한 Harnack 부등식과 도함수 추정을 도출한다.
• SDE의 시간-마진 진동을 이용하여 경로 측도 상에서 비선형 Fokker-Planck 방정식 $\partial_t \mu_t = L_{t,\mu_t}^* \mu_t$ 를 정의한다.
• $\sigma^{-1}$ 및 $\nabla b$ 에 대한 조건을 부과하여 유한한 경계 $\Lambda(T)$ 와 $K(T)$ 를 확보하고, 기울기 추정을 가능하게 한다.
• Riesz 표현 정리를 적용하여 $\mathbb{H}^1$ 에 속하는 방향에 沿한 법칙의 도함수의 $L^2$-정칙성을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 초기 측도에 대해 경로 공간 상의 비선형 Fokker-Planck 방정식이 고유한 마틴갈 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 비선형 Fokker-Planck 동역학 하에서 Wasserstein 거리, 총변동, 엔트로피는 어떻게 진화하는가?
• RQ3 기억 효과를 갖는 경로-분포에 의존하는 SDE에 대해 Harnack 유형 부등식을 확립할 수 있는가?
• RQ4 경로 공간에서 해 과정의 법칙에 대한 도함수 추정은 무엇이며, 계수 구조에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 초기 경로의 이동에 따라 해 과정의 법칙은 어떻게 행동하는가? 어떤 정칙성 성질을 갖는가?

주요 결과

• 논문은 합리적인 계수 조건 하에서 경로 공간 상의 비선형 Fokker-Planck 방정식에 대해 마틴갈 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• Wasserstein 거리, 총변동 노름, 엔트로피에서 해 사상의 리프시츠 연속성을 증명하며, $\Lambda(T)$ 와 $K(T)$ 에 따라 명시적인 경계를 제공한다.
• Harnack 부등식을 도출한다: $ (P_T f)^p(\mu_0) \leq P_T f^p(\eta + \cdot)(\mu_0) \exp\left[ \frac{p \Lambda(T)(1 + T^2 K(T))}{(p-1)^2} \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) \right] $ for $p > 1$.
• 엔트로피 경계를 확보한다: $ \int \log \frac{d\mu_T(\cdot + \eta)}{d\mu_T} d\mu_T \leq \Lambda(T)(1 + T^2 K(T)) \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) $.
• 법칙 $\mu_T$ 에 대한 $\eta \in \mathbb{H}^1$ 에 따른 도함수는 $\mu_T$ 에 대해 절대연속이며, 그 Radon-Nikodym 도함수는 $ \int \left| \frac{d \partial_\eta \mu_T}{d \mu_T} \right|^2 d\mu_T \leq \Lambda(T)(1 + K(T)T^2) \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) $ 를 만족한다.
• 측도 변화 기법을 통한 커플링은 준군의 도함수에 대한 표현을 제공한다: $ \mathbb{E}(\nabla_\eta f)(X_T) = \mathbb{E}\left[ f(X_T) \int_0^T \big\langle \sigma(t)^{-1}(\Phi(t) - \nabla_{\Theta_t} b(t, \cdot, P_t^* \mu_0)(X_t)), dW(t) \big\rangle \right] $.