[논문 리뷰] Nonlinear Geometric Optics Based Multiscale Stochastic Galerkin Methods for Highly Oscillatory Transport Equations with Random Inputs

Nicolas Crouseilles, Shi Jin외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 04.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 랜덤 입력을 가진 고주파 운반 방정식에 대해 일반화된 다항식 혼합(gPC) 기반의 스토케스틱 갈레르킨(SG) 방법을 개발한다. 비선형 기하광학(NGO)을 활용하여 주파수에 의존하지 않는 정확도를 달성한다. 진동을 제거하기 위해 랜덤 공간에서의 진동을 제거하는 단계 기반 시간 변수를 도입함으로써, 메쉬 크기, 시간 간격, 다항식 혼합 차수와 관계없이 고주파 진동을 해석하지 않고도 점별 해의 통계를 포착할 수 있다.

ABSTRACT

We develop generalized polynomial chaos (gPC) based stochastic Galerkin (SG) methods for a class of highly oscillatory transport equations that arise in semiclassical modeling of non-adiabatic quantum dynamics. These models contain uncertainties, particularly in coefficients that correspond to the potentials of the molecular system. We first focus on a highly oscillatory scalar model with random uncertainty. Our method is built upon the nonlinear geometrical optics (NGO) based method, developed in \cite{NGO} for numerical approximations of deterministic equations, which can obtain accurate pointwise solution even without numerically resolving spatially and temporally the oscillations. With the random uncertainty, we show that such a method has oscillatory higher order derivatives in the random space, thus requires a frequency dependent discretization in the random space. We modify this method by introducing a new "time" variable based on the phase, which is shown to be non-oscillatory in the random space, based on which we develop a gPC-SG method that can capture oscillations with the frequency-independent time step, mesh size as well as the degree of polynomial chaos. A similar approach is then extended to a semiclassical surface hopping model system with a similar numerical conclusion. Various numerical examples attest that these methods indeed capture accurately the solution statistics {\em pointwisely} even though none of the numerical parameters resolve the high frequencies of the solution.

연구 동기 및 목표

• 반건조 양자역학에서 랜덤 잠재력 입력이 있는 고주파 운반 방정식에서의 불확실성 전파를 효율적으로 계산하는 문제에 대응한다.
• 소파 길이를 해결해야 하는 표준 gPC-SG 방법이 고주파 문제에 적용될 경우 계산적으로 비현실적이므로 이를 극복한다.
• 메쉬 크기, 시간 간격, 다항식 혼합 차수와 관계없이 진동 주파수에 영향을 받지 않는 정확도를 유지하는 스토케스틱 갈레르킨 방법을 개발한다.
• 비선형 기하광학(NGO) 프레임워크를 스토케스틱 설정으로 확장하여 점근적 보존성과 점별 해의 정확도를 보장한다.
• 랜덤 밴드 갭이 있는 스칼라 및 표면 점프 모델에 대해 방법을 검증하여 불확실성 정량화에서의 강건성과 효율성을 입증한다.

제안 방법

• 랜덤 공간에서의 진동을 제거하기 위해 단계 기반 시간 변수를 도입함으로써 비선형 기하광학(NGO) 프레임워크를 스토케스틱 문제에 적응시킨다.
• 랜덤 입력을 표현하기 위해 일반화된 다항식 혼합(gPC) 근사를 적용한 후, 스토케스틱 갈레르킨(SG) 투영을 통해 랜덤-물리 공간에서의 결정론적 PDE 시스템을 유도한다.
• 단계 변수 τ에서의 푸리에 분석을 통해 해를 진동성과 비진동성 성분으로 분해함으로써, 푸리에 도메인에서 역행 오일러 방법을 사용한 안정적인 시간 적분을 가능하게 한다.
• 랜덤 변수 공간에서의 스펙트럼 콜로케이션을 통해 gPC 계수의 도함수를 계산하고, 이는 진동 성분의 시스템 행렬에 포함된다.
• 푸리에 도메인에서의 행렬 역행을 통해 진동 성분에 대한 시간 암시적 스킴을 구성함으로써, ε에 관계없이 안정성을 확보한다.
• 표면 점프 모델의 경우, 무작위 밴드 갭을 다루기 위해 무게 함수 π(z)에 대한 ψm(z)ψl(z) 적분을 포함하는 행렬 투영을 수행하는 gPC-SG-D 스킴을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 기하광학(NGO) 방법은 랜덤 계수를 가진 스토케스틱 고주파 운반 방정식으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 단계 기반 시간 변수의 도입이 랜덤 공간에서의 주파수 의존성 진동을 제거하여 주파수에 의존하지 않는 메쉬 크기, 시간 간격, 다항식 혼합 차수를 허용하는가?
• RQ3 메쉬 크기, 시간 간격, 다항식 혼합 차수에서 고주파 진동을 해석하지 않더라도 점별 해의 통계를 포착할 수 있는 gPC-SG 방법을 구성할 수 있는가?
• RQ4 스칼라 모델에 비해, 랜덤 밴드 갭이 있는 반건조 표면 점프 모델에서 이 방법의 성능은 어떠한가?
• RQ5 랜덤 불확실성은 랜덤 공간에서의 고차 도함수의 정칙성에 어떤 영향을 미치며, 이를 어떻게 완화할 수 있는가?

주요 결과

• 고주파 문제에 대한 표준 gPC-SG 방법은 주파수에 따라 다항식 혼합 차수를 조정해야 하므로 고주파 영역에서는 계산적으로 비현실적이다.
• 단계 기반 시간 변수를 도입함으로써 랜덤 공간에서의 진동성이 제거되어 주파수에 의존하지 않는 메쉬 크기, 시간 간격, 다항식 혼합 차수를 사용할 수 있다.
• 제안된 NGO 기반 gPC-SG 방법은 고주파 진동을 수치적으로 해석하지 않더라도 점별 해의 통계를 정확히 포착한다.
• 수치 예제를 통해 스칼라 및 표면 점프 모델 모두에서 랜덤 밴드 갭이 있는 경우에 정확한 해의 통계를 포착함을 확인하였다.
• 진동 성분에 대한 푸리에 도메인에서의 행렬 역행은 대칭성과 실수 고유값 구조 덕분에 안정적이고 역행 가능하여 수치적 강건성을 보장한다.
• 이 방법은 점근적으로 보존되며 다양한 ε 값에서 정확도를 유지하여 고주파 근사에서의 강건성을 입증한다.