[논문 리뷰] Nonlinear Interpolation and Total Variation Diminishing Schemes

François Dubois|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 20.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 34인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스칼라 보존법칙에서 Van Leer 스킴에 대한 볼록성 유지 비선형 보간 프레임워크를 제안하며, $\ell^\infty \cap {\rm BV}$에서 잘 정의되어 있음을 증명하고, 총 변동성 감소(Total Variation Diminishing, TVD) 성질을 위한 충분조건을 수립한다. 비음속 극점에서도 제2차 정확도를 유지함을 보이며, 적절한 리미터 제약 조건 하에 제2차 헤운 시간 이산화에서 TVD 및 제2차 정확도가 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

The Van Leer approach for the approximation of nonlinear scalar conservation laws is studied in one space dimension. The problem can be reduced to a nonlinear interpolation and we propose a convexity property for the interpolated values. We prove that under general hypotheses the method of lines in well posed in $\ ell^{\infty} \cap { m BV} $ and we give precise sufficient conditions to establish that the total variation is diminishing. We observe that the second order accuracy can be maintained even at non sonic extrema. We establish also that both the TVD property and second order accuracy can be maintained after discretization in time with the second order accurate Heun scheme. Numerical illustration for the advection equation is presented.

연구 동기 및 목표

• Van Leer 스킴에 대한 스칼라 보존법칙에서 비선형 보간을 위한 엄밀한 수학적 프레임워크를 수립하기 위해.
• 선형화된 방법(formulation)에서 총 변동성 감소(Total Variation Diminishing, TVD) 성질을 보장하는 충분조건을 규명하기 위해.
• 비음속 극점에서 제2차 정확도가 유지되는지 증명하기 위해, 이는 TVD 스킴에서 알려진 도전 과제이다.
• 특히 헤운 스킴과 같은 이중단계 룬게쿠타 스킴을 사용한 시간 이산화에서 TVD 및 제2차 정확도 성질을 확장하기 위해.
• 광고 방정정식에 대한 수치 실험을 통해 이론적 결과를 검증하기 위해.

제안 방법

• 재구성된 값에 대해 볼록성 유지 성질을 갖는 비선형 보간 문제로 Van Leer 스킴을 공식화한다.
• 시간에 대해 연속적인 공간 이산화를 다루기 위해 방법의 선형화를 적용하여 일반적인 가정 하에 $\\ell^\\infty \cap {\\rm BV}$에서 잘 정의되어 있음을 보장한다.
• 연속적인 시간 설정에서 해의 TVD 성질을 보장하기 위해 리미터 함수에 대한 충분조건을 유도한다.
• 절단 오차를 분석하여 비음속 극점에서도 제2차 정확도가 유지됨을 보여준다.
• 제2차 헤운 시간 적분 스킴을 적용하고, TVD 및 제2차 정확도를 유지하기 위한 리미터에 대한 새로운 제약 조건을 유도한다.
• 광고 방정정식에 대해 다양한 메esh와 코울런트 수를 사용하여 라그랑주 리미터를 구현하고 실험한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Van Leer 스킴에 대해 볼록성 유지 보간 프레임워크를 수립하여 안정성과 정확도를 보장할 수 있는가?
• RQ2 $\ell^\infty \cap {\rm BV}$에서 스칼라 보존법칙에 대해 방법의 선형화가 일반적인 가정 하에 잘 정의되어 있는가?
• RQ3 이러한 보간 기반 스킴에 대해 일반적인 가정 하에 TVD 성질을 엄밀히 증명할 수 있는가?
• RQ4 비음속 극점에서 제2차 정확도가 유지되는가? 이는 기존 TVD 스킴에서 자주 저하되는 지점이다.
• RQ5 헤운 스킴과 같은 이중단계 룬게쿠타 스킴을 사용한 시간 이산화 후에도 TVD 및 제2차 정확도를 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 일반적인 가정 하에 방법의 선형화는 $\ell^\infty \cap {\rm BV}$에서 잘 정의되어 있어 수치 해의 안정성을 보장한다.
• 연속적인 시간 설정에서 해의 총 변동성 감소(Total Variation Diminishing, TVD) 성질을 보장하기 위한 충분조건이 도출되었다.
• 비음속 극점에서도 제2차 정확도가 유지되어, 일부 TVD 스킴에서 알려진 한계를 해결하였다.
• 리미터 함수가 새로 유도된 제약 조건을 만족할 경우 헤운 스킴은 TVD 및 제2차 정확도를 모두 유지한다.
• 수치 실험 결과 라그랑주 리미터의 경우 $L^\infty$에서 제2차 수렴이 확인되었고, 다른 리미터의 경우 $L^1$ 및 $L^2$에서 제2차 수렴이 확인되었다.
• CFL 수를 감소시켜 ($\sigma = 1/4$) 헤운 스킴은 극점에서 제2차 절단 오차를 유지하는 반면, $\sigma = 1/2$일 경우 제1차로 저하됨을 확인하여 시간 간격 제약의 중요성을 입증하였다.