[논문 리뷰] NONLINEAR OBSERVER IN THE ORIGINAL COORDINATES WITH DIFFEOMORPHISM EXTENSION AND JACOBIAN COMPLETION

Pauline Bernard, Vincent Andrieu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 01.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 18인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 관측 가능성 특이점과 차원 불일치 문제를 다루기 위해 미분동형사상(diffeomorphisms)을 사용하여 원래 시스템 좌표계에서 직접 작동하는 비선형 관측기 설계를 제안한다. 영상 확장과 야코비안 완성 기법을 적용함으로써 관측기 동역학을 원래 좌표계에 통합하면서 수렴 성질을 변경하지 않아, 제한된 상태 영역과 고차원 관측기 다양체에서도 안정적인 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Typical difficulties we face in implementing observers in applications are: – because of physical constraints or observability singularities, the estimated state should remain in some restricted region of the system state manifold ; – observability may also impose the observer dynamics to live in an observer state manifold with higher dimension than the system state. In such a case, the observer implementation needs a left inverse of an injective immersion. In the approach we propose to round these difficulties, we do not modify the given converging dynamics of the observer, assumed to be globally defined. Instead we select carefully the coordinates to express them. This is done via appropriate diffeomorphisms: – one diffeomorphism sending the restricted region to the whole space. This is done by an image extension. – one function extending the injective immersion into a diffeomorphism and making the observer state coordinates equivalent to the system state coordinates complemented with extra ones introduced to fill the dimension gap. This is done via a Jacobian completion. Such a design makes possible the expression of the observer dynamics in the, maybe complemented, original coordinates. Several examples illustrate our results.

연구 동기 및 목표

• 물리적 제약으로 인해 추정 상태가 상태 다양체의 제한된 영역에 유지되어야 할 경우 관측기를 구현하는 데 도전하는 문제를 해결한다.
• 표준 관측기 설계가 국소적으로만 적용 가능한 관측 가능성 특이점을 극복한다.
• 시스템 상태 다양체보다 관측기 상태 다양체의 차원이 높은 경우 발생하는 차원 불일치 문제를 해결한다.
• 관측기의 원래 수렴 동역학을 수정 없이 유지하여 안정성 및 수렴 보장을 보장한다.
• 미분동형사상으로 동역학을 변환함으로써 원래 시스템 좌표계에서 관측기를 구현할 수 있도록 하여, 해석을 복잡하게 만드는 좌표 변경을 피한다.

제안 방법

• 제한된 상태 영역의 영상을 전체 상태 공간으로 확장하기 위해 미분동형사상을 적용하여, 영상 확장을 통한 전역 관측기 설계를 가능하게 한다.
• 일대일 매립(immmersion)을 전체 미분동형사상으로 확장하기 위해 야코비안 완성 기법을 사용하여, 관측기 상태 다양체의 차원 격차 문제를 해결한다.
• 완성된 미분동형사상을 통해 일대일 매립의 좌측 역행렬을 구성하여, 일관된 관측기 상태 표현을 보장한다.
• 미분동형사상 변환을 활용하여 관측기 동역학을 원래 시스템 좌표계로 표현함으로써 원래 시스템 기하학을 유지한다.
• 원래 동역학을 유지하면서 좌표 표현을 변환함으로써 관측기의 전역 존재성과 수렴성을 확보한다.
• 미분동형사상을 사용하여 관측기 상태를 원래 좌표가 유지되는 공간으로 매핑하고, 완성된 방법으로 추가 차원을 채운다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추정 상태가 상태 다양체의 제한된 영역에 고정되어 있을 경우, 어떻게 안정적이고 수렴하는 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ2 관측 가능성 특이점으로 인해 원래 시스템 좌표계에서 작동하는 데 어려움이 있을 때, 어떤 수학적 변환이 관측기를 원래 좌표계에서 작동시킬 수 있게 하는가?
• RQ3 차원 격차가 존재하는 일대일 매립을 어떻게 전체 미분동형사상으로 확장하여 관측기 상태의 완전한 표현을 가능하게 할 수 있는가?
• RQ4 야코비안 완성 기법이 관측기 동역학에 대해 좌측 역행렬의 존재를 어떻게 보장하는가?
• RQ5 원래 수렴 성질을 유지하면서도 관측기 동역학을 원래 좌표계에서 표현할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 제한된 영역을 전체 공간으로 매핑하는 미분동형사상의 사용을 통해 원래 시스템 좌표계에서 관측기 설계를 가능하게 하여 물리적 제약과 관측 가능성 제약를 극복한다.
• 미분동형사상에 의한 영상 확장을 통해 상태가 유한한 영역에 고정되어 있어도 관측기를 전역적으로 정의할 수 있다.
• 야코비안 완성 기법은 일대일 매립을 전체 미분동형사상으로 변환하여 시스템과 관측기 상태 다양체 간의 차원 불일치 문제를 해결한다.
• 관측기 동역학은 원래 수렴 행동을 변경하지 않고 원래 좌표계에서 성공적으로 표현되어 안정성 보장을 유지한다.
• 완성된 미분동형사상을 통해 일대일 매립의 좌측 역행렬을 구성함으로써 일관된 상태 추정이 가능해진다.
• 다양한 예시를 통해 이론적 접근이 복잡한 관측 가능성 및 기하학적 제약을 다루는 데 효과적임을 입증한다.