[논문 리뷰] Nonlinear option pricing models for illiquid markets: scaling properties and explicit solutions

Ljudmila A. Bordag, Rüdiger Frey|arXiv (Cornell University)|2007. 08. 11.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 21인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 유동성이 낮은 시장에서 자산 가격이 시장 영향으로 인해 왜곡되는 비선형 블랙-쇼스 방정식을 모델링한 옵션 가격 결정에 대한 명시적 해석적 해를 개발한다. 대칭 분석과 척도 불변성을 적용하여, 큰 기초 자산에 대해 비선형 성장을 보이는 옵션 가격을 나타내는 정확한 해를 도출한다. 이는 유동성 있는 시장보다 높은 헤지 비용을 의미한다.

ABSTRACT

Several models for the pricing of derivative securities in illiquid markets are discussed. A typical type of nonlinear partial differential equations arising from these investigation is studied. The scaling properties of these equations are discussed. Explicit solutions for one of the models are obtained and studied.

연구 동기 및 목표

• 시장의 비유동성이 파생상품 가격에 미치는 영향을 비선형 블랙-쇼스 편미분방정식의 일군의 클래스를 연구함으로써 분석하기.
• 비유동성 모델에서 유도된 비선형 편미분방정식의 척도 성질과 대칭 축소를 조사하기.
• 대표적인 비선형 옵션 가격 결정 모델에 대한 명시적 불변 해를 유도하기.
• 기초 자산 가격이 0 또는 무한대에 접근할 때 해의 점점 가까운 행동을 검토하기.
• 특히 종료 지급 구조와 헤지 비용 영향 측면에서 비선형 해의 행동을 선형 블랙-쇼스 모델과 비교하기.

제안 방법

• 연구는 거래비용 모델에서 유도된 완전히 비선형인 포물형 편미분방정식에 초점을 맞추며, 시장 영향으로 인해 헤지 전략의 델타에 대해 제곱형 의존성이 도입된다.
• 대칭 분석과 리 군 방법을 적용하여 척도 불변성과 편미분방정식을 상미분방정식으로 축소한다.
• 척도 대칭성에서 유도된 유사성 변수를 사용하여 명시적 해를 구성하며, 상수로 매개변수화된 정확한 해의 가족을 도출한다.
• 기초 자산 가격의 극단적 값(예: S → 0 및 S → ∞)에서의 해의 행동을 분석하고, 점점 가까운 전개를 유도한다.
• 감도와 그릭스(예: 델타)를 계산하고 시각화하여 모델 파라미터와 시간에 대한 의존성을 연구한다.
• 해결책의 프로파일을 표준 옵션 지급 구조(예: 콜옵션)와 비교하여 유한한 가격 간격에서의 적합도를 평가함으로써 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비유동성 시장에서의 비선형 옵션 가격 결정 편미분방정식의 척도 성질이 그 해의 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 대칭 축소 하에 대표적인 비선형 블랙-쇼스 방정식에 대해 어떤 명시적 해를 도출할 수 있는가?
• RQ3 S → 0 및 S → ∞ 일 때 이러한 해의 점점 가까운 행동이 선형 블랙-쇼스 사례와 어떻게 다를까?
• RQ4 유도된 해가 콜옵션 또는 선물 유사 지급 구조를 얼마나 잘 근사할 수 있는가?
• RQ5 비선형 성장 패tern은 비유동성 환경에서 헤지 비용과 시장 완전성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 해 $ u_{1}(S,t) $ 는 $ S \to \infty $ 일 때 점점 가까운 행동을 보이며, $ u_{1}(S,t) \to \frac{3}{b} S \tan S + \text{낮은 차수의 항들} $ 이다. 주요 항은 시간과 상수 $ c $ 와 무관하다.
• 해 $ u_{2}(S,t) $ 와 $ u_{3,2}(S,t) $ 는 큰 $ S $ 에서 선형적으로 성장하지만, 계수는 $ c $ 에 따라 달라지며 선형 이동을 통해 조정 가능하다.
• 작은 $ S \to 0 $ 에서 해 $ u_{3,1}(S,t) $ 는 $ u_{3,1}(S,t) \sim \frac{-14}{b} S \ln S + \mathcal{O}(S) $ 와 같이 행동하며, 주요 항은 시간과 $ c $ 와 무관하다.
• 비선형 해는 $ S \to \infty $ 일 때 선형적으로 초과하여 성장하므로, 비유동성 시장에서 선형 사례보다 더 높은 헤지 비용을 나타낸다.
• 해의 델타 $ \Delta $ 는 작은 값에서 $ S $ 에 대해 강한 민감도를 보이며, $ S \to \infty $ 의 극한에서만 일정한 값을 향해 수렴한다.
• 기본 상수 $ c $ 와 $ d $ 를 조정함으로써 명시적 해를 콜옵션 또는 선물 유사 지급 구조에 맞게 조정할 수 있으며, 이는 수치 해법의 기준으로 사용될 수 있다.