[논문 리뷰] Nonlinear parabolic stochastic evolution equations in critical spaces Part II. Blow-up criteria and instantaneous regularization

Antonio Agresti, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 다항 비선형성과 임계 공간에서의 난류 초깃값을 갖는 비선형 확률 편미분방정식에 대해 새로운 폭발 기준과 혁신적인 부스팅 기법을 제시한다. 스토하스틱 최대정규성과 시간가중 함수공간을 이용하여, 초깃값의 연속성 없이도 해의 전역 존재성과 즉각적인 부드러움을 증명한다. 이는 Serrin 유형 기준을 확률적 환경으로 확장하며, 스토하스틱 나비에-스토크스 및 앨런-카인 방정식과 같은 SPDE의 고차 정규성을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper is a continuation of Part I of this project, where we developed a new local well-posedness theory for nonlinear stochastic PDEs with Gaussian noise. In the current Part II we consider blow-up criteria and regularization phenomena. As in Part I we can allow nonlinearities with polynomial growth, and rough initial values from critical spaces. In the first main result we obtain several new blow-up criteria for quasi- and semilinear stochastic evolution equations. In particular, for semilinear equations we obtain a Serrin type blow-up criterium, which extends a recent result of Prüss-Simonett-Wilke (2018) to the stochastic setting. Blow-up criteria can be used to prove global well-posedness for SPDEs. As in Part I, maximal regularity techniques and weights in time play a central role in the proofs. Our second contribution is a new method to bootstrap Sobolev and Hölder regularity in time and space, which does not require smoothness of the initial data. The blow-up criteria are at the basis of these new methods. Moreover, in applications the bootstrap results can be combined with our blow-up criteria, to obtain efficient ways to prove global existence. This gives new results even in classical $L^2$-settings, which we illustrate for a concrete SPDE. In future works in preparation we apply the results of the current paper to obtain global well-posedness results, and regularity for several concrete SPDEs. These include stochastic Navier-Stokes, reaction diffusion equations, and Allen-Cahn equations. Our setting allows to put these SPDEs into a more flexible framework, where less restrictions on the nonlinearities are needed, and we are able to treat rough initial values from critical spaces. Moreover, we will obtain higher order regularity results.

연구 동기 및 목표

• 임계 공간에서 난류 초깃값을 갖는 비선형 및 반선형 스토하스틱 진동 방정식에 대한 폭발 기준을 수립하기 위해.
• 부드러운 초깃값을 요구하지 않고 시간과 공간에서의 소볼레프 및 허더 정규성을 부스팅하는 새로운 정규화 기법을 개발하기 위해.
• 폭발 기준과 정규화를 결합하여 다항 비선형성을 갖는 SPDE의 전역 존재성을 증명하기 위해.
• 최근의 결정론적 결과를 일반화하여 Serrin 유형의 폭발 기준을 확률적 환경으로 확장하기 위해.
• 스토하스틱 PDE에 대해 유연한 프레임워크를 제공하여 난류 초깃값과 더 엄격한 비선형성 제약이 없는 상황을 허용하기 위해.

제안 방법

• 시간가중 함수공간과 함께 스토하스틱 최대 $ L^p $-정규성 이론을 활용하여 난류 초깃값과 일반적인 비선형성을 다루기 위해.
• 확률적 도구와 랜덤 초깃값 시간을 적용하여 스토하스틱 환경에서 국소 적합성 문제를 확립하기 위해.
• 시간에 대한 가중치를 사용하는 새로운 부스팅 기법을 활용하여 폭발 기준으로부터 고차 정규성을 도출하기 위해.
• 에너지 유형 추정과 임계 베소프 및 소볼레프 공간에서의 임bedding 정리에 의해 폭발 기준을 유도하기 위해.
• 복소 보간과 경계 이론을 활용하여 SPDE의 척도 성질을 반영하는 내재적인 임계 공간을 식별하기 위해.
• 이론을 앨런-카인 및 스토하스틱 나비에-스토크스와 같은 구체적 SPDE에 적용하여 전역 존재성과 정규성을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 공간에서 다항 비선형성과 난류 초깃값을 갖는 반선형 및 비선형 스토하스틱 PDE에 대해 폭발 기준을 수립할 수 있는가?
• RQ2 부드러운 초깃값을 가정하지 않고 시간과 공간에서의 소볼레프 및 허더 정규성을 어떻게 부스팅할 수 있는가?
• RQ3 삼차 비선형성과 색소음이 있는 1차원 SPDE의 정확한 임계 공간은 무엇이며, 척도와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 가우시안 소음이 있는 SPDE에 대해 Serrin 유형의 폭발 기준을 확률적 환경으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 폭발 기준과 정규화 기법의 조합이 SPDE의 전역 존재성 결과를 어떻게 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 반선형 SPDE에 대해 Serrin 유형의 폭발 기준이 수립되었으며, 최근의 결정론적 결과를 확률적 경우로 확장하였다.
• 삼차 비선형성과 색소음이 있는 1차원 SPDE의 임계 공간은 $ B^{rac{1}{q}-rac{1}{2}}_{q,p} $로 식별되었으며, 이는 내재적이고 척도 불변이다.
• 1차원 SPDE의 해는 거의 확실히 모든 $ r > 2 $ 및 $ heta ∈ [0,1/2) $ 에 대해 $ H^{ heta,r}_{ ext{loc}}(I_{ au};H^{1-s-2 heta,q}(×)) $ 에서 정규성을 갖는다.
• 부스팅 방법은 즉각적인 정규화를 가능하게 한다: 해는 초깃값이 난류라도 초기 시간 이후 즉각적으로 정규성을 획득한다.
• 폭발 기준이 충족되지 않으면 전역 존재성이 보장되며, 이 방법은 스토하스틱 나비에-스토크스 및 앨런-카인 방정식과 같은 SPDE에 최소한의 비선형성 제약으로 적용된다.
• 이 프레임워크는 연산자의 $ (t,\omega) $ 에 대한 가측적 의존성, 소음의 크기 제약 없음, 비선형성의 다항 성장 가능성을 허용하여 적용 범위를 넓힌다.