[논문 리뷰] Nonlinear scalar field equations with $L^2$ constraint: Mountain pass and symmetric mountain pass approaches

Jun Hirata, Kazunaga Tanaka|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 14.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $L^2$ 제약 조건을 가진 비선형 스칼라 장 방정식에 대해, 새로운 라그랑주 형식과 수정된 팔라이스-스모스 조건을 사용하여 구형 대칭 해의 존재성을 확립한다. 일반적인 초임계 비선형성 하에서 $m > m_0$일 때 최소한 하나의 해가 존재함을 증명하고, 최소 에너지 수준에 대한 마운틴 팠 특성화를 제시하며, 제약 다각형 위의 최소화 방법을 통해 이전 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We study the existence of radially symmetric solutions of the following nonlinear scalar field equations in ${\mathbb R}^N$ ($N\geq 2$): $$ (*)_m \left\{ \eqalign{ -&Δu = g(u) -μu \quad \hbox{in}\ {\mathbb R}^N, \cr &\| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)} = m, \cr &u \in H^1({\mathbb R}^N), \cr} ight. $$ where $g(ξ)\in C({\mathbb R},{\mathbb R})$, $m>0$ is a given constant and $μ\in {\mathbb R}$ is a Lagrange multiplier. We introduce a new approach using a Lagrange formulation of the problem $(*)_m$. We develop a new deformation argument under a new version of the Palais-Smale condition. For a general class of nonlinearities related to [BL1, BL2, HIT], it enables us to apply minimax argument for $L^2$ constraint problems and we show the existence of infinitely many solutions as well as mountain pass characterization of a minimizing solution of the problem: $$ \inf\left\{ \int_{{\mathbb R}^N} {1\over 2}| abla u|^2 - G(u)\, dx;\, \| u\|_{L^2({\mathbb R}^N)}^2 = m ight\}, \quad G(ξ)=\int_0^ξg(τ)\, dτ. $$

연구 동기 및 목표

• 일반적인 비선형성 하에서 $\mathbb{R}^N$, $N \geq 2$ 에서 $L^2$ 제약 조건이 있는 비선형 스칼라 장 방정식의 구형 대칭 해의 존재성을 확립한다.
• 특히 $L^2$-제약 문제에 적합한 수정된 팔라이스-스모스 조건에 맞춘 새로운 변형된 변형 조건을 개발한다.
• 문제의 라그랑주 형식을 통해 최소 에너지 수준 $\mathcal{I}_m$ 에 대한 마운틴 패스 특성화를 제공한다.
• 만일 $g(\xi)$ 가 홀함수일 경우 추가 가정 하에 무한히 많은 해의 존재를 확장한다.
• $m > m_0$ 이고 $\mathcal{I}_m < 0$ 이 되는 것과 동치임을 보이며, $m_0$ 는 임계 질량 값이다.

제안 방법

• $\mathbb{R} \times H_r^1(\mathbb{R}^N)$ 위에서 라그랑주 함수형식 $\mathcal{L}(\mu, u) = \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 - \int G(u) + \frac{\mu}{2}(\|u\|_{L^2}^2 - m)$ 으로 제약 문제를 재구성한다.
• 문제의 $L^2$ 제약 조건과 척도 성질을 고려한, $L^2$-제약 문제에 특화된 새로운 팔라이스-스모스 조건의 버전을 도입한다.
• 라그랑주 함수형식에 대해 마운틴 패스 및 대칭 마운틴 패스 접근법을 포함한 최소화 방법을 적용하여 임계점을 찾는다.
• 히라타-이코마-타나카 및 지앙제의 영감을 얻은 척도 변형을 사용하여 푸호자예프 유형 항등식을 가진 팔라이스-스모스 수열을 생성한다.
• 유전도 이론과 변형 조건을 활용하여, $g(\xi)$ 의 홀함수 조건 하에서 컴actness와 다수의 해 존재성을 증명한다.
• 주어진 가정 하에 마운틴 패스 수준 $b_{mp}$ 가 최소 에너지 수준 $\mathcal{I}_m$ 과 일치함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $L^2$-제약 조건이 있는 비선형 스칼라 장 방정식에서 마운틴 패스 수준 $b_{mp}$ 는 최소 에너지 수준 $\mathcal{I}_m$ 과 일치하는가?
• RQ2 제약 조건이 있는 $L^2$ 문제에서 최소화 수열의 컴팩트성을 보장하기 위해 새로운 팔라이스-스모스 조건을 제안할 수 있는가?
• RQ3 $L^2$-제약 문제 $(*)_{m}$ 가 모든 $m > 0$ 에 대해 최소한 하나의 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ4 $g(\xi)$ 가 홀함수일 경우, 무한히 많은 구형 대칭 해의 존재를 증명할 수 있는가?
• RQ5 $m > m_0$ 이 되는 정확한 임계값 $m_0$ 은 무엇이며, $\mathcal{I}_m$ 의 부호와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• $m > m_0$ 일 경우, 문제 $(*)_{m}$ 는 최소한 하나의 구형 대칭 해를 가지며, $m_0 \in [0, \infty)$ 는 비선형성에 따라 달라지는 임계 질량 값이다.
• $\lim_{\xi \to 0} \frac{g(\xi)}{|\xi|^{4/N}\xi} = \infty$ 이면 $m_0 = 0$ 이 되며, 이는 모든 $m > 0$ 에 대해 해가 존재함을 의미한다.
• 마운틴 패스 수준 $b_{mp}$ 는 최소 에너지 수준 $\mathcal{I}_m$ 과 동일하며, 이는 기저 상태 해에 대한 최소화 특성화를 제공한다.
• $m > m_0$ 이고 $\mathcal{I}_m < 0$ 이 되는 것과 동치이며, 이는 존재 임계값과 최소 에너지의 부호를 연결한다.
• $g(-\xi) = -g(\xi)$ 인 홀함수 조건이 성립할 경우, 문제는 무한히 많은 구형 대칭 해를 갖는다.
• 수정된 팔라이스-스모스 조건 하에서의 새로운 변형 조건은 팔라이스-스모스 수열의 수렴을 보장하며, 이는 $L^2$-제약 문제에 최소화 방법의 적용을 가능하게 한다.