[논문 리뷰] Nonlinear SDEs driven by Lévy processes and related PDEs

Benjamin Jourdain, Sylvie Méléard외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 07. 18.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 22인용 수 68

한 줄 요약

이 논문은 레비 과정에 의해 구동되는 비선형 확률미분방정식(SDE)을 연구하며, 해의 법칙에 대해 비선형적일 수 있는 리프시츠 연속 계수를 允허함으로써 고전적인 McKean-Vlasov 모델을 일반화한다. 더 낮은 조건 하에서도 존재성과 유일성을 확립하고, 확률적 변분법을 통해 시간에 대한 마진별 분포의 절대연속성을 증명하며, 주요 결과로 분수라플라시안을 포함하는 비선형 포크너-플랭크 방정식을 유도한다. 이는 입자 시스템과 비국소 PDE를 연결한다.

ABSTRACT

In this paper we study general nonlinear stochastic differential equations, where the usual Brownian motion is replaced by a Lévy process. We also suppose that the coefficient multiplying the increments of this process is merely Lipschitz continuous and not necessarily linear in the time-marginals of the solution as is the case in the classical McKean-Vlasov model. We first study existence, uniqueness and particle approximations for these stochastic differential equations. When the driving process is a pure jump Lévy process with a smooth but unbounded Lévy measure, we develop a stochastic calculus of variations to prove that the time-marginals of the solutions are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. In the case of a symmetric stable driving process, we deduce the existence of a function solution to a nonlinear integro-differential equation involving the fractional Laplacian.

연구 동기 및 목표

• 브라운 운동을 일반 레비 과정으로 대체하고 해의 법칙에 대해 비선형적 의존성을 允허함으로써 McKean-Vlasov 모델을 일반화하기.
• 고전적 모델보다 더 약한 리프시츠 조건 하에서도 레비 과정에 의해 구동되는 비선형 SDE의 해가 존재하고 유일함을 증명하기.
• 구동 과정이 매끄럽고 유계가 아닌 레비 측도를 가진 순수 점프 레비 과정일 경우, 해의 시간 마진별 분포가 르베그 측도에 대해 절대연속임을 증명하기.
• 구동 과정이 대칭 α-안정 레비 과정일 경우, 해의 밀도에 대해 분수라플라시안을 포함하는 비선형 통합미분방정식을 포크너-플랭크 방정식으로 도출하기.
• 비선형 SDE에 대한 확률적 입자 시스템 근사를 제공하고, 차원에 의존하는 수렴 속도를 갖는 혼합의 전파를 확립하기.

제안 방법

• 일반 레비 과정 $ Z_t $ 과 해 $ X_s $ 의 법칙 $ P_s $ 에 대해 비선형 SDE를 $ X_t = X_0 + \int_0^t \sigma(X_{s^-}, P_s) dZ_s $ 로 수식화하기.
• 확률 measures 의 바르세르스타인 거리에서 $ \sigma $ 가 리프시츠 연속일 경우, 워샤르스타인 공간에서 고정점 정리로 존재성과 유일성 증명하기.
• 초기 데이터와 레비 과정에 대한 제곱 적분 가능성 조건을 완화하기 위해 바르세르스타인 거리의 유계 버전 $ d_1 $ 을 도입하기.
• 비한정 점프를 가진 일반 레비 과정에 의해 구동되는 SDE에 대해 변분법을 확장한 확률적 미분법을 개발하며, Bichteler-Jacod 및 Bismut의 접근을 일반화하기.
• 변분법을 적용하여, $ \sigma $ 와 레비 측도에 대한 매끄럽고 유계 조건이 만족될 경우 시간 마진별 법칙 $ P_t $ 가 르베그 밀도를 가짐을 증명하기.
• 대칭 α-안정 레비 과정일 경우, 비선형 포크너-플랭크 방정식 $ \partial_t p_t(x) = D_x^\alpha(|\sigma(\cdot, p_t)|^\alpha p_t)(x) $ 를 유도하며, 여기서 $ D_x^\alpha $ 는 분수라플라시안이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수 $ \sigma $ 가 법칙에 대해 리프시츠 연속이지만 선형이 아닐 경우, 레비 과정에 의해 구동되는 비선형 SDE가 유일한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 매끄럽고 비유계 레비 측도를 가진 순수 점프 레비 과정일 경우, 이러한 해의 시간 마진별 분포가 르베그 측도에 대해 절대연속임을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 구동 과정이 대칭 α-안정일 경우, 해당 비선형 포크너-플랭크 방정식은 무엇인가?
• RQ4 일반 리프시츠 조건 하에서 입자 근사의 혼합의 전파 속도는 공간 차원에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 비선형 드리프트 항에 컨볼루션을 포함하는 비선형 SDE를 구성함으로써 분수 다공성 매질 방정식에 대한 물리적으로 타당한 확률적 입자 시스템 근사를 만들 수 있는가?

주요 결과

• 비선형 SDE (1) 는 $ \sigma $ 가 $ \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^k) $ 상의 유클리드 거리와 바르세르스타인 거리의 곱에 대해 리프시츠 연속일 경우, $ \sigma $ 가 측도 변수에 대해 선형이 아니어도 유일한 해를 가진다.
• 매끄럽고 비유계 레비 측도를 가진 순수 점프 레비 과정일 경우, $ \sigma $ 가 리프시츠이면서 첫 번째 변수에 대해 유계 도함수를 가질 경우, 시간 마진별 분포 $ P_t $ 는 르베그 측도에 대해 절대연속이다.
• 구동 과정이 대칭 α-안정일 경우, 해의 밀도 $ p_t $ 는 비선형 포크너-플랭크 방정식 $ \partial_t p_t(x) = D_x^\alpha(|\sigma(\cdot, p_t)|^\alpha p_t)(x) $ 를 만족하며, 여기서 $ D_x^\alpha $ 는 분수라플라시안이다.
• 입자 시스템에서 혼합의 전파 수렴 속도는 일반적으로 $ C/\sqrt{n} $ 가 아니며, 고전적 McKean-Vlasov 모델과 달리 공간 차원 $ k $ 에 따라 달라진다.
• 비선형 드리프트 항에 컨볼루션을 포함하는 비선형 SDE를 구성함으로써 분수 다공성 매질 방정식에 대한 확률적 근사 체계를 제공하며, 분수라플라시안을 포함하는 물리적으로 타당한 모델을 유도한다.
• 비선형 포크너-플랭크 방정식의 해 존재성은 해당 SDE의 해 존재성과 그 유한차원 분포의 절대연속성에 의해 증명된다.