[논문 리뷰] Nonlinear Valuation under Collateral, Credit Risk and Funding Costs: A Numerical Case Study Extending Black-Scholes

Damiano Brigo, Qing Daphne Liu외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 29.

Credit Risk and Financial Regulations참고 문헌 9인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 콜라탈리제이션, 카운터파티 리스크, 펀딩 비용을 고려한 비선형 무아웃리어 프레임워크를 제안하며, CVA, DVA, FVA, LVA 조정을 현금흐름 수정에 직접 통합함으로써 파생상품 가격을 산정한다. 일반화된 블랙-숄즈 모델에 최소제곱 몬테카를로 알고리즘을 적용한 결과, 펀딩 리스크와 비선형성(비선형성 평가 조정(NVA)으로 측정됨)이 거래 가격에 상당한 영향을 미치며, NVA는 총 가격의 10–15% 기여함을 보여주어 전통적인 덧셈 조정 모델의 타당성을 도전한다.

ABSTRACT

We develop an arbitrage-free framework for consistent valuation of derivative trades with collateralization, counterparty credit gap risk, and funding costs, following the approach first proposed by Pallavicini and co-authors in 2011. Based on the risk-neutral pricing principle, we derive a general pricing equation where Credit, Debit, Liquidity and Funding Valuation Adjustments (CVA, DVA, LVA and FVA) are introduced by simply modifying the payout cash-flows of the deal. Funding costs and specific close-out procedures at default break the bilateral nature of the deal price and render the valuation problem a non-linear and recursive one. CVA and FVA are in general not really additive adjustments, and the risk for double counting is concrete. We introduce a new adjustment, called a Non-linearity Valuation Adjustment (NVA), to address double-counting. The theoretical risk free rate disappears from our final equations. The framework can be tailored also to CCP trading under initial and variation margins, as explained in detail in Brigo and Pallavicini (2014). In particular, we allow for asymmetric collateral and funding rates, replacement close-out and re-hypothecation. The valuation equation takes the form of a backward stochastic differential equation or semi-linear partial differential equation, and can be cast as a set of iterative equations that can be solved by least-squares Monte Carlo. We propose such a simulation algorithm in a case study involving a generalization of the benchmark model of Black and Scholes for option pricing. Our numerical results confirm that funding risk has a non-trivial impact on the deal price, and that double counting matters too. We conclude the article with an analysis of large scale implications of non-linearity of the pricing equations.

연구 동기 및 목표

• OTC 파생상품에서 콜라탈리제이션, 카운터파티 리스크, 펀딩 비용을 일관되게 고려하는 아웃리어 프리 밸류에이션 프레임워크를 개발하는 것.
• 기존의 덧셈 조정 모델을 무효로 하는 비가환적이고 순환적인 펀딩 및 신용 조정의 특성을 다루는 것.
• CVA 및 FVA 계산에서 이중 계산 리스크를 정량화하고 수정하기 위해 비선형성 평가 조정(NVA)을 도입하는 것.
• 최종 방정정식에서 이론적 무위험 금리가 아닌 관찰 가능한 시장 금리(예: OIS, 신용 스프레드, 펀딩 금리)에 기반하여 무위험 금리에 의존하지 않도록 하는 것.
• 블랙-숄즈 모델을 확장한 수치 사례 연구를 통해 비선형성의 실질적 영향을 입증하는 것.

제안 방법

• 위험 중립 평가 기반의 일반적인 가격 결정 방정식을 유도하며, CVA, DVA, LVA, FVA는 거래의 지급 현금흐름을 수정함으로써 통합된다.
• 펀딩 및 파산 리스크에 대한 순환적이고 비선형적인 의존성을 반영하기 위해, 평가 문제를 후행 확률 미분 방정식(또는 준선형 편미분방정식)으로 모델링한다.
• 대출 및 예금 금리의 대칭화 또는 무위험 금리 기반의 대체 청산 방식을 사용할 경우 발생하는 평가 오차를 측정하기 위해 비선형성 평가 조정(NVA)을 도입한다.
• 반복적이고 후행적인 시간 방향의 방정식을 수치적으로 해결하기 위해 최소제곱 몬테카를로(Least-Squares Monte Carlo, LSMC) 알고리즘을 적용하여 시뮬레이션 기반 평가를 가능하게 한다.
• 콜라탈리제이션과 펀딩 금리의 비대칭성, 파산 시 대체 청산, 재담보화를 포함한 블랙-숄즈 모델의 확장판을 제안하며, ISDA 및 CSA 시장 관행과 일치시킨다.
• 신용 스프레드, CSA 금리, 국채 펀딩 금리와 같은 관찰 가능한 시장 입력값을 사용하여 모델을 校정함으로써 최종 방정식에서 이론적 무위험 금리를 사용하지 않도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CVA, DVA, FVA, LVA를 덧셈 또는 선형 조정을 가정하지 않고 파생상품 가격에 일관되게 통합할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 펀딩 비용과 비대칭 펀딩 금리가 비선형 평가 프레임워크에서 거래 가격에 미치는 영향은 어떠한가?
• RQ3 평가 방정식의 비선형적 구조가 포트폴리오 집계를 어떻게 무효화시키며, 이를 통해 포트폴리오 구성에 따라 평가가 달라지는가?
• RQ4 단순화된 덧셈 조정을 사용할 경우 발생하는 이중 계산 오차는 얼마나 심각한가, 그리고 이를 정량화할 수 있는가?
• RQ5 비선형성 평가 조정(NVA)이 펀딩 및 청산 절차의 대칭화로 인해 발생하는 오차를 효과적으로 측정하고 수정할 수 있는가?

주요 결과

• 비선형성 평가 조정(NVA)은 총 펀딩 포함 거래 가격의 10–15%를 차지하며, 이는 비선형성의 상당한 영향을 반영하는 것으로, 무시할 수 없는 영향을 미친다.
• 펀딩 리스크는 거래 가격에 상당한 영향을 미치며, 이 영향의 크기는 대출 및 예금 금리 간의 비대칭성에 따라 달라진다.
• 평가 방정식은 본질적으로 비선형적이고 순환적이므로, 거래 가격은 펀딩 전략에 의존하며, 이 전략 자체는 가격에 의존하므로 상호 이중 대칭성이 깨진다.
• 펀딩 비용과 대체 청산의 존재로 인해 포트폴리오 가치의 집계는 덧셈이 아니며, 결과적으로 평가가 포트폴리오 구성에 의존하게 된다.
• 이 프레임워크는 관찰 가능한 시장 금리인 OIS, 신용 스프레드, 국채 펀딩 금리 외에는 무위험 금리를 사용하지 않아 무위험 금리에 대한 의존도를 제거한다.
• LSMC 알고리즘이 반복적 후행 방정식을 성공적으로 해결하여 일반화된 블랙-숄즈 설정에서 모델의 수치적 검증을 가능하게 하였다.