[논문 리뷰] Nonlinear waves in a strongly nonlinear resonant granular chain

Lifeng Liu, Guillaume James외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 09.

Nonlinear Photonic Systems참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 허츠 접촉 입자와 내부 조화 진동자로 구성된 강한 비선형 공진 입자 체인에서의 비선형 파동을 조사한다. 점근적 분석을 통해 소폭 진폭의 정현파 형태의 진행파와 어두운 브레이커(시간 주기적, 배경이 비영인 상태에서 지수적으로 국소화된 상태)를 모델링하기 위해 일반화된 이산 p-슈뢰딩거(DpS) 방정식을 유도한다. 이는 큰 질량 비율에서 장수명의 밝은 브레이커의 존재를 입증하고, 질량 비율과 주파수에 따라 다른 분기 및 안정성 특성을 가지는 안정적인 어두운 브레이커를 수치적으로 계산한다.

ABSTRACT

We explore a recently proposed locally resonant granular system bearing harmonic internal resonators in a chain of beads interacting via Hertzian elastic contacts. In this system, we propose the existence of two types of configurations: (a) small-amplitude periodic traveling waves and (b) dark-breather solutions, i.e., exponentially localized, time periodic states mounted on top of a non-vanishing background. We also identify conditions under which the system admits long-lived bright breather solutions. Our results are obtained by means of an asymptotic reduction to a suitably modified version of the so-called discrete p-Schr{ö}dinger (DpS) equation, which is established as controllably approximating the solutions of the original system for large but finite times (under suitable assumptions on the solution amplitude and the resonator mass). The findings are also corroborated by detailed numerical computations. A remarkable feature distinguishing our results from other settings where dark breathers are observed is the complete absence of precompression in the system, i.e., the absence of a linear spectral band.

연구 동기 및 목표

• 헤르츠 접촉과 내부 공진자로 구성된 국소 공진 입자 체인에서 비선형 파동 해의 존재성과 안정성을 조사하는 것.
• 기본 비공진 한계를 초월해 유한한 질량 비율까지 확장된 이산 p-슈뢰딩거(DpS) 방정식 프레임워크를 확장하는 것.
• 예비 압축 없이도 비영 배경 위에서 지수적으로 국소화되고 시간 주기적인 상태인 어두운 브레이커 해를 수치적으로 계산하고 분석하는 것.
• 다양한 질량 비율과 주파수에서 결합 중심 및 위치 중심 어두운 브레이커 해의 분기 및 안정성 특성을 조사하는 것.
• 시스템에서 장수명의 비자명한 밝은 브레이커 해가 나타나는 조건을 탐색하는 것.

제안 방법

• 소폭 진폭과 공진자 질량에 대한 가정 하에, 유한한 시간 동안 유효하고 소폭 진폭에 대해 적용 가능한 점근적 감소를 통해 일반화된 DpS 조율 방정식을 유도하는 것.
• 일반화된 DpS 방정식을 사용해 소폭 진폭의 정현파 형태의 진행파 및 브레이커 해의 역학을 근사하고 예측하는 것.
• 수치 시뮬레이션을 위한 초기 조건을 DpS 해의 해를 기반으로 설정하여 정확한 어두운 브레이커 해를 계산하는 것.
• 다양한 주파수와 질량 비율에 대해 정확한 어두운 브레이커 해를 수치적으로 계산하기 위해 뉴턴 유형의 고정점 계속 방법을 적용하는 것.
• 플로케트 승수 스펙트럼 분석을 통해 안정성을 분석하고, 결합 중심 및 위치 중심 해에서 실수(진행) 및 진동 불안정성의 차이를 구분하는 것.
• 수치 결과를 DpS 프레임워크에서의 분석 예측과 비교하여 점근적 근사의 타당성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 DpS 방정식은 유한한 질량 비율에서 공진 입자 체인의 소폭 진폭 정현파 형태의 진행파 해를 정확하게 캐릭터라이즈할 수 있는가?
• RQ2 시스템에서 장수명의 비자명한 밝은 브레이커 해가 존재할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 예비 압축 없이도 단순 원자 체인에서 어두운 브레이커 해—비영 배경 위에서 지수적으로 국소화되고 시간 주기적인 상태—는 존재하는가?
• RQ4 어두운 브레이커의 안정성 및 분기 구조는 질량 비율과 브레이커 주파수에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 피에르스-나바로(barrier)는 어두운 브레이커의 이동성에 어떤 역할을 하는가? 그리고 이는 결합 중심 해와 위치 중심 해의 역학적 불안정성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 일반화된 DpS 방정식은 유한한 질량 비율에서 공진 입자 체인의 소폭 진폭 정현파 형태의 진행파 해를 성공적으로 근사한다. 특히 질량 비율이 임계 임계값 이하일 경우에 잘 작동한다.
• 비자명한 밝은 브레이커 해는 유한한 질량 비율에서는 존재하지 않지만, 질량 비율이 충분히 크고 초기 조건이 적절히 선택될 경우 장수명의 비자명한 밝은 브레이커 해가 나타난다.
• DpS 기반의 초기 조건과 뉴턴 유형의 계속 방법을 사용해 결합 중심 및 위치 중심 어두운 브레이커 해를 수치적으로 계산하였다.
• 결합 중심 어두운 브레이커는 실수 불안정성을 보이며 장기적으로 진행 가능성을 시사하지만, 위치 중심 브레이커는 오직 진동 불안정성만을 보이며 시뮬레이션에서 더 오래 지속된다.
• 작은 질량 비율에서 결합 중심 해는 주기 두배 분기 현상을 보이며, 반면 위치 중심 해는 장기간 안정성을 유지하지만 특정 조건에서는 혼돈 역학에 의해 완전히 붕괴될 수 있다.
• 플로케트 승수 분포—안정성의 지표—는 질량 비율과 브레이커 주파수 모두에 따라 크게 달라지며, 특히 공진자 고유 주파수 근처에서 위치 중심 해는 더 약한 불안정성을 보인다.