[논문 리뷰] Nonlinearity, correlation and the valuation of employee stock options

Matheus R. Grasselli|ArXiv.org|2005. 11. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 비완전 시장에서 직원 스톡 옵션의 가치를 평가하기 위해 지수적 무관심 가격 설정을 사용하는 이산시간 알고리즘을 제안한다. 이는 비선형 위험 선호도(부분 행사로 이어짐)와 관련된 거래 자산을 통한 헤지까지 고려한다. 주요 기여는 비선형성과 상관관계가 블랙-숄즈 모델을 초월해 옵션 가치와 기업 비용을 크게 증가시킨다는 점이며, 기업 비용은 직원의 가치와 블랙-숄즈 가격 사이에 위치한다.

ABSTRACT

We propose a discrete time algorithm for the valuation of employee stock options based on exponential indifference prices and taking into account both the possibility of partial exercise of a fraction of the options and the use of a correlated traded asset to hedge part of their risk. We determine the optimal exercise policy under this conditions and present numerical results showing how both effects can significantly change the value of the option for an employee, as well as its cost for the issuing firm.

연구 동기 및 목표

• 퇴직, 상실, 비유동성 등의 계약적 특성으로 인해 표준 옵션 가격 설정 모델(예: 블랙-숄즈)이 직원 스톡 옵션을 평가하는 데에 한계를 가짐을 해결하기 위해.
• 위험이 완전히 헤지될 수 없는 비완전 시장에서 파생상품으로서 직원 옵션을 모델링하고, 위험 중립 평가 대신 유틸리티 기반 가격 설정이 필요함을 설명하기 위해.
• 비선형 위험 선호도와 거래 자산과의 상관관계가 최적의 행사 전략과 옵션 평가에 어떤 영향을 미치는지 조사하기 위해.
• 부분 행사와 헤지의 영향을 정량화하여 기업의 유틸리티와 기업 비용에 미치는 영향을 분석하고, 기존 모델이 체계적으로 낮게 평가하는 문제를 수정하기 위해.

제안 방법

• 위험 회피를 반영하기 위해 지수적 유틸리티 기반 무관심 가격 설정을 사용하여 직원 옵션의 공정한 가치를 결정한다.
• 보유 수량과 위험 선호도에 따라 부분 행사가 가능한 최적의 행사 정책을 계산하기 위해 이산시간 동적계획법 알고리즘을 개발한다.
• 주식 인덱스와 같은 관련된 거래 자산을 도입하여 시장 리스크의 일부를 헤지하고, 동적 포트폴리오로 헤지 전략을 모델링한다.
• 기업의 기대 비용을 계산하기 위해 위험 중립 주가 동역학의 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하고, 직원의 최적 행사 정책을 입력으로 사용한다.
• 출시일로부터 역행 추론이 가능하도록, 유효 기간 종료 시점에서 유럽식 파생상품으로서 옵션을 평가하기 위해 이진수 나무 프레임워크를 적용한다.
• 독립적인 포아송 과정을 통해 근로자 퇴직 리스크를 포함하고, 각 시간 단계에서 생존 확률에 따라 옵션 가치를 조정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위험 선호도가 비선형이고 부분 행사가 허용될 경우, 직원 스톡 옵션의 최적 행사 전략은 어떻게 변화하는가?
• RQ2 관련된 거래 자산이 존재할 경우, 이는 직원 스톡 옵션의 가치와 기업의 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 변동성과 만기 기간이 다양할 경우, 평가 결과가 블랙-숄즈 가격과 근로자의 유틸리티 기반 가치와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 지수적 무관심 가격 설정에 기반한 이산시간 알고리즘이 비완전 시장에서 비선형성과 상관관계의 영향을 정확히 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 기업이 지불해야 할 실제 비용은 근로자의 유틸리티 기반 가치와 블랙-숄즈 가격 사이에 위치하며, 이는 기존 모델이 기업 비용을 체계적으로 낮게 평가하고 있음을 시사한다.
• 기업의 비용은 만기까지의 시간, 변동성, 헤지 자산과의 상관관계가 증가할수록 증가하고, 근로자의 위험 회피 정도(γ)가 증가할수록 감소한다.
• T=5이고 γ=0.5일 경우, 기업의 비용은 변동성 증가에 따라 증가하며, 이는 이론적 기대와 실증적 증거와 일치한다.
• 부분 행사와 비선형성을 忽시할 경우, 근로자에게 주어지는 옵션 가치가 체계적으로 낮게 평가되고, 결과적으로 기업 비용도 낮게 평가된다.
• 관련된 헤지 자산의 포함은 옵션 가치를 크게 향상시키며, 이는 헤지 기회가 미헤지된 리스크를 줄이고 가치를 증가시킴을 보여준다.
• 모델의 결과는 실증적 결과(예: 허더트와 랑, 1996)와 정성적으로 일치한다. 즉, 장기 만기 및 높은 변동성에서 직원 옵션은 블랙-숄즈 가격보다 낮게 가격이 책정되는 경향이 있다.