[논문 리뷰] Nonlocal Fully Nonlinear Parabolic Differential Equations Arising in Time-Inconsistent Problems

Lei Qian, Chi Seng Pun|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 08.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비국소적 완전 비선형 포물형 편미분방정식(nonlocal fully nonlinear parabolic PDEs)의 잘 정의됨(well-posedness)—존재성, 유일성, 안정성—을 입증한다. 이는 시간에 비일관적인 확률적 제어 문제에서 유래하며, 특수하게 설계된 바나흐 공간과 고정점 추론을 통해 이루어진다. 또한 이러한 편미분방정식을 두 번째 차수의 정방향-역방향 확률미분방정식(2FBSDEs)의 흐름과 연결하여, 이러한 시스템에 대한 새로운 파인만–카프 유형의 표현을 제공한다.

ABSTRACT

We prove the well-posedness results, i.e. existence, uniqueness, and stability, of the solutions to a class of nonlocal fully nonlinear parabolic partial differential equations (PDEs), where there is an external time parameter $t$ on top of the temporal and spatial variables $(s,y)$ and thus the problem could be considered as a flow of equations. The nonlocality comes from the dependence on the unknown function and its first- and second-order derivatives evaluated at not only the local point $(t,s,y)$ but also at the diagonal line of the time domain $(s,s,y)$. Such equations arise from time-inconsistent problems in game theory or behavioural economics, where the observations and preferences are (reference-)time-dependent. To address the open problem of the well-posedness of the corresponding nonlocal PDEs (or the time-inconsistent problems), we first study the linearized version of the nonlocal PDEs with an innovative construction of appropriate norms and Banach spaces and contraction mappings over which. With fixed-point arguments, we obtain the well-posedness of nonlocal linear PDEs and establish a Schauder-type prior estimate for the solutions. Then, by the linearization method, we analogously establish the well-posedness under the fully nonlinear case. Moreover, we reveal that the solution of a nonlocal fully nonlinear parabolic PDE is an adapted solution to a flow of second-order forward-backward stochastic differential equations.

연구 동기 및 목표

• 시간에 비일관적인 확률적 제어 문제에서 유래하는 비국소적 완전 비선형 포물형 편미분방정식(nonlocal fully nonlinear parabolic PDEs)에 대한 잘 정의됨의 열린 문제를 해결하기 위해.
• 새로운 함수 공간과 고정점 기법을 사용하여 해의 존재성, 유일성, 안정성을 확립하기 위해.
• 비국소적 PDE를 두 번째 차수의 정방향-역방향 확률미분방정식(2FBSDEs)의 흐름과 연결하기 위해.
• 대각선 종속성과 시간 매개변수화된 동역학을 통합함으로써 기존의 파인만–카프 공식을 일반화하기 위해.
• 기준 기반 선호성에 따라 행동 경제학과 확률적 제어의 이론적 기반을 확장하기 위해.

제안 방법

• 비국소성과 시간 매개변수 의존성에 대응하기 위해 특수하게 설계된 바나흐 공간과 노름을 구성한다.
• 이들 공간에서 수축 사상 원리를 적용하여 선형화된 PDE의 잘 정의됨을 입증한다.
• 해의 행동을 비동차항과 초기 조건에 따라 제어하기 위해 샤우더 유형의 사전 추정을 유도한다.
• 선형화와 고정점 반복을 통해 결과를 완전 비선형 경우로 확장한다.
• 이토의 공식을 PDE 해에 적용하여 확률적 표현을 도출하고, 이를 2FBSDEs의 흐름과 연결한다.
• 비국소적 PDE의 해가 유도된 2FBSDEs의 흐름에 대해 적응된 해(adaptive solution)임을 입증하며, 고전적 파인만–카프 공식을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 조건 하에서 대각선 종속성을 가진 비국소적 완전 비선형 포물형 편미분방정식(nonlocal fully nonlinear parabolic PDEs)의 잘 정의됨을 확립할 수 있는가?
• RQ2 비국소적 구조와 시간 매개변수 의존성을 다룰 수 있는 적절한 함수 공간과 노름을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ3 이러한 비국소적 PDE와 두 번째 차수의 정방향-역방향 확률미분방정식(2FBSDEs)의 흐름 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 해의 대각선 항과 그 도함수를 포함하는 시스템에 대해 일반화된 파인만–카프 공식을 유도할 수 있는가?
• RQ5 비국소적 PDE의 해는 시간에 비일관적인 확률적 제어 문제에서 하위게임 완전 균형(subgame perfect equilibria)과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 적절하게 구성된 바나흐 공간에서 선형화와 바나흐의 고정점 정리에 기반하여 비국소적 완전 비선형 포물형 편미분방정식의 잘 정의됨이 입증된다.
• 해가 초기 조건과 비동차항에 따라 어떻게 영향을 받는지를 정량화하는 샤우더 유형의 사전 추정이 도출된다.
• 비국소적 PDE의 해가 두 번째 차수의 정방향-역방향 확률미분방정식(2FBSDEs)의 흐름에 대해 적응된 해임이 입증된다.
• 식 (53)의 2FBSDE 시스템은 해와 그 도함수의 대각선 항을 비선형 방식으로 통합함으로써 고전적 2FBSDEs를 일반화한다.
• PDE-FBSDE 연결은 2FBSDEs의 흐름에 대한 새로운 파인만–카프 유형의 표현을 제공하며, 고전적 결과를 확장한다.
• 결과는 제어 항이 확산 계수에 포함되는 것을 가능하게 하고, 평형 HJB 방정식을 해결함으로써 시간에 비일관적인 확률적 제어 이론을 크게 발전시킨다.