[논문 리뷰] Nonlocality in microscale heat conduction

Bjorn Vermeersch, Ali Shakouri|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 19.

Thermal properties of materials인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 구배-확산 스펙트럼의 준구속 열전도에서 시공간 기억을 반영하는 비국소적 열전도도 커널 κ∗을 제안한다. 이론적 배경으로는 비탄성 시간 근사 하에서의 볼츠만 운동방정식을 사용하여, 온화된 Lévy 운동에 대해 κ∗를 해석적으로 유도하였으며, 이는 비국소성이 거리 √(2−α) xR 범위에서 물리적으로 의미가 있음을 드러낸다. 실험적으로는 실리콘에서 약 400 nm, InGaAs/SiGe에서 약 1 μm의 비국소성 길이가 관측되었으며, 이는 평균 열진동자 자유경로와 잘 일치한다.

ABSTRACT

Thermal transport at short length and time scales inherently constitutes a nonlocal relation between heat flux and temperature gradient, but this is rarely addressed explicitly. Here, we present a formalism that enables detailed characterisation of the delocalisation effects in nondiffusive heat flow regimes. A convolution kernel $κ^{\ast}$, which we term the nonlocal thermal conductivity, fully embodies the spatiotemporal memory of the heat flux with respect to the temperature gradient. Under the relaxation time approximation, the Boltzmann transport equation formally obeys the postulated constitutive law and yields a generic expression for $κ^{\ast}$ in terms of the microscopic phonon properties. Subsequent synergy with stochastic frameworks captures the essential transport physics in compact models with easy to understand parameters. A fully analytical solution for $κ^{\ast}(x')$ in tempered Lévy transport with fractal dimension $α$ and diffusive recovery length $x_{ ext{R}}$ reveals that nonlocality is physically important over distances $\sqrt{2-α} \,\,x_{ ext{R}}$. This is not only relevant to quasiballistic heat conduction in semiconductor alloys but also applies to similar dynamics observed in other disciplines including hydrology and chemistry. We also discuss how the previously introduced effective thermal conductivity $κ_{ ext{eff}}$ inferred phenomenologically by transient thermal grating and time domain thermoreflectance measurements relates to $κ^{\ast}$. Whereas effective conductivities depend on the experimental conditions, the nonlocal thermal conductivity forms an intrinsic material property. Experimental results indicate nonlocality lengths of 400$\,$nm in Si membranes and $\simeq 1\,μ$m in InGaAs and SiGe, in good agreement with typical median phonon mean free paths.

연구 동기 및 목표

• 준구속 영역에서 확산 거동을 가정하지 않고 시공간 기억을 반영하는 비국소적 열전도 형식을 개발하는 것.
• 비탄성 시간 근사 하에서 볼츠만 운동방정식으로부터 유도된 κ∗를 본질적인 물질 성질로 설정하는 것.
• κ∗를 효과적 열전도도 κeff와 연결하여 순시 열격자(TTG) 및 시간영역 열반사도(TDTR) 실험 데이터와 직접 비교할 수 있도록 하는 것.
• 열전도 전기 및 화학 분야를 포함한 비확산 열전도에 적용 가능한 간결하고 해석 가능한 비국소 모델을 제공하는 것.
• 현상론적으로 유도된 κeff와 기본적인 비국소 반응 사이의 괴리 문제를 해결하기 위해 이 둘 사이의 정량적 관계를 유도하는 것.

제안 방법

• 온도 기울기 ∂T/∂x와 기억 커널 κ∗(x−x′,t−t′)의 컨볼루션에 의존하는 비국소적 구성법칙을 수립한다.
• 비탄성 시간 근사 하에서 볼츠만 운동방정식으로부터 κ∗를 해석적으로 유도하여 미세한 진동자 성질과 연결한다.
• 확률적 프레임워크를 적용하여 비국소 커널을 이해할 수 있는 매개변수를 가진 간결한 모델로 단순화한다.
• 분수차수 α와 복구 길이 xR를 가진 온화된 Lévy 운동의 경우 κ∗(x′)를 해석적으로 구한다.
• 주파수 도메인에서의 적분 방정식을 통해 TDTR 및 TTG 실험에서 유도된 실험적 효과적 열전도도 κeff와 본질적 커널 κ∗를 연결한다.
• κ∗가 복소수일 경우, 결과 적분 방정식을 수치적으로 해결하기 위해 이분법 알고리즘과 가우스 적분을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비국소적 열류의 시공간 기억 커널을 사용하여 마이크로스케일 열전도에서 비국소성 특성을 수학적으로 기술할 수 있는가?
• RQ2 분수차수 α를 가진 온화된 Lévy 운동에 대해 비국소적 열전도도 커널 κ∗의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 TDTR 및 TTG 실험에서 실험적으로 측정된 효과적 열전도도 κeff는 본질적 비국소 커널 κ∗와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 반도체 합금에서 마이크로미터 이하 척도에서 비국소 효과가 확산 거동보다 지배적인가?
• RQ5 비국소 형식이 확산 열전도에 대한 현상론적 가정 없이도 실험 데이터를 해석하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 비국소적 열전도도 커널 κ∗는 온도 기울기와의 시공간 기억을 완전히 반영하며, 본질적인 물질 성질이 된다.
• 온화된 Lévy 운동의 경우, 비국소성은 거리 √(2−α) xR 범위에서 물리적으로 의미가 있다. 여기서 xR는 확산 회복 길이다.
• 실리콘 막에서 약 400 nm, InGaAs 및 SiGe에서 약 1 μm의 실험적 비국소성 길이는 평균 열진동자 자유경로와 양호한 일치를 보인다.
• TDTR 및 TTG 실험에서 유도된 효과적 열전도도 κeff는 주파수 도메인에서 κ∗(ξ)의 넓은 샘플링 결과이며, 고주파 성분은 억제된다.
• 순수한 Lévy 운동의 경우, κ∗와 κeff를 연결하는 적분 방정식은 κeff ∼ fmod^(−(2/α−1))의 형태를 띠며, 이는 InGaAs 및 SiGe에서의 실험적 스케일링과 일치한다.
• 이 형식은 κ∗에 대한 해석적 해와 κeff에 대한 수치적 해를 가능하게 하여, 비확산 열전도 영역 전반에 걸쳐 간결한 열모델링을 위한 강력한 프레임워크를 제공한다.