[논문 리뷰] Nonoscillation and Stability of the Second Order Ordinary Differential Equations with a Damping Term

Leonid Berezansky, Elena Braverman외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 14.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 연속성 조건 없이 가측 계수를 가진 감쇠항을 포함하는 2차 선형 상미분방정식에 대해 새로운 비진동성 및 지수안정성 기준을 수립한다. 그린 함수와 플로케 이론을 활용한 비진동 간격 분석을 통해 감쇠 계수의 적분적 성질에 기반한 지수안정성 조건을 유도함으로써, 고전적 결과를 최소한의 정규성 가정으로 더 넓은 범주로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper we consider the linear ordinary equation of the second order $$ L x(t)\equiv \ddot{x}(t) +a(t)\dot{x}(t)+b(t)x(t)=f(t), \eqno{(1)} $$ and the corresponding homogeneous equation $$ \ddot{x}(t) +a(t)\dot{x}(t)+b(t)x(t)=0. \eqno{(2)} $$ Note that $[α,β]$ is called a nonoscillation interval if every nontrivial solution has at most one zero on this interval. Many investigations which seem to have no connection such as differential inequalities, the Polia-Mammana decomposition (i.e. representation of the operator $L$ in the form of products of the first order differential operators), unique solvability of the interpolation problems, kernels oscillation, separation of zeros, zones of Lyapunov's stability and some others have a certain common basis - nonoscillation. Presumably Sturm was the first to consider the two problems which naturally appear here: to develop corollaries of nonoscillation and to find methods to check nonoscillation. In this paper we obtain several tests for nonoscillation on the semiaxis and apply them to propose new results on asymptotic properties and the exponential stability of the second order equation (2). Using the Floquet representations and upper and lower estimates of nonoscillation intervals of oscillatory solutions we deduce results on the exponential and Lyapunov's stability and instability of equation (2).

연구 동기 및 목표

• 연속성 가정을 초월하여 가측 계수를 갖는 2차 선형 ODE에 대한 비진동성 기준을 개발한다.
• 감쇠 계수의 적분적 성질을 활용해 동차 방정식의 지수안정성에 대한 새로운 조건을 수립한다.
• 플로케 이론과 그린 함수의 양성으로 비진동 이론과 안정성 분석을 연결한다.
• 비진동 해를 모델 방정식으로 사용하여 안정성에 대한 보ール-페르론 정리를 일반화한다.
• 해의 영점 간 거리 추정을 통해 비진동 간격에 명시적인 경계를 제공한다.

제안 방법

• 해와 경계값 문제 분석을 위해 코시 함수와 그린 함수를 사용한다.
• 미분부등식 정리들을 적용하여 그린 함수의 양성을 도출함으로써 비진동성을 유추한다.
• 주기적 계수의 경우 플로케 이론을 활용해 단조행렬과 스펙트럼 반경을 분석한다.
• 해의 연속적인 영점 간 거리에 상한과 하한을 도출하여 주기적 행동을 배제한다.
• 감쇠 방정식을 표준형으로 환원하기 위해 변환 $ z''(t) + p(t)z(t) = 0 $ 을 사용하며, 여기서 $ p(t) = b(t) - a^2(t)/4 - a'(t)/2 $ 이다.
• 그린 함수로 정의된 적분 연산자의 스펙트럼 반경 추정을 통해 안정성 성질을 유추한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차 상미분방정식의 해가 가측 계수를 갖는 경우 반직선에서 비진동성이 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 계수의 연속성을 가정하지 않고 동차 방정식의 지수안정성을 어떻게 판단할 수 있는가?
• RQ3 감쇠 계수의 적분 $ \int_0^\omega a(t)dt $ 가 안정성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 해의 영점 간 거리 추정은 시스템의 안정성 또는 불안정성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 비진동 간격은 그린 함수의 양성과 스펙트럼 반경 분석을 통해 특성화될 수 있는가?

주요 결과

• 방정식 (7.1)은 $ \int_0\omega a(t)dt > 0 $ 라면, 단조행렬의 스펙트럼 반경이 1보다 작기 때문에 지수안정하다.
• 만약 $ \int_0^\omega a(t)dt < 0 $ 이면 기본해는 지수적으로 증가하며, 이는 $ |\lambda_1| > 1 $ 인 불안정성을 나타낸다.
• 만약 $ \int_0^\omega a(t)dt = 0 $ 이면 기본해는 유계이므로 $ |\lambda_1| = 1 $ 이다.
• 정리 12는 진동성에 대한 명시적 충분조건을 제공한다: $ P = \mathrm{ess\,inf}\,p(t) > 0 $, $ Q = \mathrm{ess\,sup}\,p(t) $, 그리고 $ \omega \in \left(0, \frac{\pi}{2\sqrt{Q}}\right] \cup \cdots \cup \left(\frac{k-1}{2}\frac{\pi}{\sqrt{P}}, \frac{k\pi}{2\sqrt{Q}}\right) $ 이며 $ \frac{k-1}{k} < \sqrt{P/Q} $ 라면, 방정식은 진동적이며 영점 간 거리는 $ 2\omega $ 와 다를 것이다.
• 7.1절의 예시는 $ \int_0^\pi a(t)dt > 0 $ 이더라도, 해의 구조상 유계가 아닌 성분이 허용된다면 지수안정성이 실패할 수 있음을 보여주며, 이는 주기적 영점 패tern을 배제할 필요가 있음을 강조한다.