[논문 리뷰] Nonparametric estimation for fractional diffusion processes with random effects

Mohamed El Omari, Hamid El Maroufy외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $N$명의 피험자들이 시간 범위 $T$ 동안 관찰된 분수 스토케스틱 미분 방정식(FSDEs)에서 장기적 의존성을 가지는 랜덤 효과의 밀도에 대한 비모수적 커널 및 히스토그램 추정기들을 제안한다. $H > 1/2$ 조건 하에서, $N$과 $T$가 모두 무한대에 접근함에 따라 커널 추정기의 $L^2$-리스크와 히스토그램 추정기의 $L^1$-리스크를 확립하여, 랜덤 효과를 가진 FSDEs에 대한 첫 번째 비모수적 추론 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We propose a nonparametric estimation for a class of fractional stochastic differential equations (FSDE) with random effects. We precisely consider general linear fractional stochastic differential equations with drift depending on random effects and non-random diffusion. We build ordinary kernel estimators and histogram estimators and study their Lp-risk (p =1 or 2), when H>1/2. Asymptotic results are evaluated as both T = T(N) and N tend to infinity.

연구 동기 및 목표

• 장기적 의존성을 가지는 분수 스토케스틱 미분 방정식(FSDEs)에서 랜덤 효과에 대한 비모수적 추론 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 독립 동일분포를 이wers는 랜덤 효과 $\phi_i$의 공통 밀도 $f$에 대한 일致한 밀도 추정기들을 개발하기 위해.
• 공동 점점 증가하는 조건 $N,T \to \infty$ 하에서 커널 및 히스토그램 추정기의 점근적 $L^p$-리스크($p=1,2$)를 분석하기 위해.
• 랜덤 효과를 가진 SDEs에 대한 기존의 모수적 추론을 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 비모수적 설정으로 확장하기 위해.
• 모델에서의 미지의 드리프트 $a(\cdot)$와 알려진 $b(\cdot), \sigma(\cdot)$ 조건 하에서 밀도 추정의 이론적 보장을 제공하기 위해.

제안 방법

• FSDE의 $N$개의 샘플 경로로부터 유도된 추정된 효과 $\widetilde{\phi}_{i,T}$의 경험적 분포를 바탕으로, 랜덤 효과 $\phi_i$의 밀도 $f$에 대한 일반적인 커널 추정기를 제안한다.
• 드리프트 $a(\cdot)$가 알려져 있거나 모르는 조건 하에서, $H \in (1/2,1)$ 조건 하에서 커널 추정기의 $L^2$-리스크 경계를 유도한다.
• 밀도 $f$가 컴actsupport를 가진다는 가정 하에, 기술적 분석을 단순화하고 실용적 관련성을 반영하기 위해 히스토그램 추정기를 구성한다.
• 공동 점점 증가하는 조건 $N,T \to \infty$ 하에서, $T = T(N)$ 조건 하에서 히스토그램 추정기의 $L^1$-리스크를 분석한다.
• 장기적 의존성을 고려하여 추정 오차를 통제하기 위해 분수 브라운 운동의 확률적 미적분과 농도 불등식을 사용한다.
• 규칙성 조건을 만족하는 $b(t), \sigma(t)$ 및 $a(\cdot)$ 하에서, 편향과 분산 성분을 제어함으로써 두 추정기의 일致성과 수렴 속도를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 장기적 의존성을 가지는 FSDEs에서 $H > 1/2$ 조건 하에 랜덤 효과에 대한 비모수적 밀도 추정기를 일관적으로 구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 $N$과 $T$가 증가함에 따라 커널 추정기의 밀도 $f$에 대한 $L^2$-리스크 성질은 어떠한가?
• RQ3 동일한 점점 증가하는 점근적 조건 하에서, 컴팩트한 지지집합을 가진 밀도에 대해 히스토그램 추정기는 $L^1$-리스크 측면에서 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 미지의 드리프트 $a(\cdot)$ 존재가 랜덤 효과 밀도 추정 리스크에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 방법을 $H < 1/2$로 확장할 때의 이론적 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 규칙성 조건을 만족하는 $b(t), \sigma(t)$ 및 $a(\cdot)$ 하에서, $N$과 $T$가 모두 무한대에 접근함에 따라 커널 추정기의 $L^2$-리스크는 0으로 수렴한다.
• 커널 추정기의 수렴 속도는 밀도 $f$의 매끄러움, 허스트 지수 $H$, 그리고 밴드위드 $h$의 선택에 따라 달라진다.
• 밀도 $f$가 컴팩트 지지집합을 가진다는 가정 하에서, 히스토그램 추정기의 $L^1$-리스크는 제어 가능하여 보다 단순한 기술적 분석이 가능하다.
• 드리프트 $a(\cdot)$가 알려져 있지 않은 경우에도, 공통 점점 증가하는 조건 $N,T \to \infty$ 하에서 제안된 추정기는 일관성을 유지한다.
• 추정된 랜덤 효과 $\widetilde{\phi}_{i,T}$의 일관성에 필수적인 핵심 모멘트 조건이 실패함에 따라, $H < 1/2$ 조건에서는 방법이 실패한다.
• 수치 시뮬레이션은 다양한 $H$ 값과 랜덤 효과 분포(Gaussian 및 Gamma) 조건 하에서 커널 및 히스토그램 추정기가 진짜 밀도로 수렴하는 것을 확인한다.