[논문 리뷰] Nonrelativistic limit of standing waves for pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations

Woocheol Choi, Jinmyoung Seok|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 02.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$에서의 의사상대론적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 지상 상태 해의 존재성과 반경대칭성을 확립하며, 빛의 속도 $c \to \infty$일 때 비상대론적 극한을 엄밀히 증명하여 $H^1(ℝ^n)$에서 고전적 비선형 슈뢰딩거 방정식의 지상 상태 해로의 강한 수렴을 보여준다. 이러한 결과는 상대론적 모형이 저속 영역에서 비상대론적 모형으로 축소됨을 공식적으로 확인한다.

ABSTRACT

In this paper we study standing waves for pseudo-relativistic nonlinear Schrödinger equations. In the first part we find ground state solutions. We also prove that they have one sign and are radially symmetric. The second part is devoted to take nonrelativistic limit of the ground state solutions in $H^1 (\mathbb{R}^n)$ space.

연구 동기 및 목표

• 의사상대론적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 멱함수 비선형성과 함께 지상 상태 해의 존재성을 확립하기.
• 이러한 지상 상태 해가 양수이며, 이동을 제외한 반경대칭이면서, 부호가 일치함을 증명하기.
• 빛의 속도 $c \to \infty$일 때 지상 상태 해의 비상대론적 극한을 엄밀히 정당화하기.
• 상대론적 지상 상태 해가 $H^1(\u211d^n)$ 노름에서 비상대론적 지상 상태 해로 강한 수렴함을 보여주기.

제안 방법

• Nehari 다양체 위에서 에너지 최소화를 이용하여 $H^{1/2}(\u211d^n)$에서 지상 상태 해를 구성하기.
• 상대론적 운동 에너지 연산자 $\sqrt{-c^2\Delta + m^2c^4} - mc^2$의 테일러 전개를 적용하여 비상대론적 근사 $-\frac{1}{2m}\Delta$를 유도하기.
• 약한 수렴 논증과 컴act한 소볼레프 포함을 활용하여 $c \to \infty$일 때 해의 극한을 분석하기.
• 모든 $c \geq 1$에 대해 지상 상태 해의 $L^p$ 및 $H^1$ 유계성을 확보하여 수렴 분석을 가능하게 하기.
• 비상대론적 방정식의 유일성 결과(쿠옹의 정리)를 활용하여 극한이 유일한 음이 아닌 반경대칭 지상 상태임을 식별하기.
• 정규성 논증을 적용하여 극한 방정식의 매우 약한 해가 실제로 $H^1(\u211d^n)$에서의 약한 해임을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $\mu > 0$ 및 $p \in (2, 2n/(n-1))$에 대해 의사상대론적 비선형 슈뢰딩거 방정식에 지상 상태 해가 존재하는가?
• RQ2 이러한 지상 상태 해는 양수이며, 이동을 제외한 반경대칭이고, 부호가 일치하는가?
• RQ3 $c \to \infty$일 때 지상 상태 해의 수열 $u_c$가 $H^1(\u211d^n)$에서 강하게 수렴하는가?
• RQ4 $c \to \infty$일 때 $u_c$의 극한이 고전적 비선형 슈뢰딩거 방정식의 지상 상태 해와 일치하는가?

주요 결과

• Nehari 다양체 위에서의 최소화를 통해 모든 $\mu > 0$, $c \geq 1$, $p \in (2, 2n/(n-1))$에 대해 지상 상태 해가 존재함을 보였다.
• 모든 지상 상태 해는 양수이며, 이동을 제외한 반경대칭이면서, 부호가 일치한다. 이는 이전 연구에서의 모호함을 해결한다.
• 모든 $c \geq 1$에 대해 지상 상태 해 $u_c$는 $L^p(\u211d^n)$ 및 $H^1(\u211d^n)$에서 유계이며, 이는 극한 분석을 가능하게 한다.
• $c \to \infty$일 때 지상 상태 해 $u_c$는 고유한 음이 아닌 반경대칭 지상 상태 해로 $H^1(\u211d^n)$에서 강하게 수렴한다.
• 극한 해는 비상대론적 방정식 $-\frac{1}{2m}\Delta u + \mu u = |u|^{p-2}u$를 만족하며, 유일성 정리에 의해 식별된다.
• 비상대론적 방정식의 매우 약한 해가 실제로 $H^1(\u211d^n)$에서의 약한 해임을 보여주어 극한의 정규성을 확보한다.