[논문 리뷰] Nonsmooth Aggregative Games with Coupling Constraints and Infinitely Many Classes of Players

Paulin Jacquot, Cheng Wan|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 16.

Game Theory and Applications참고 문헌 42인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 비원자적 집합 게임에서 비연속 비용 함수, 집합적 제약 조건, 무한한 플레이어 집단을 고려할 때, 변분 Wardrop 균형의 존재성과 유일성을 확립한다. 강한 단조성 조건 하에서 유한 플레이어 근사값(가짜-VNE)이 진정한 균형으로 수렴함을 보이며, 무한차원 공간 내 일반화된 변분부등식을 사용한다.

ABSTRACT

After defining a pure-action profile in a nonatomic aggregative game, where players have specific compact convex pure-action sets and nonsmooth convex cost functions, as a square-integrable function, we characterize a Wardrop equilibrium as a solution to an infinite-dimensional generalized variational inequality. We show the existence of Wardrop equilibrium and variational Wardrop equilibrium, a concept of equilibrium adapted to the presence of coupling constraints, in monotone nonatomic aggregative games. The uniqueness of (variational) Wardrop equilibrium is proved for strictly or aggregatively strictly monotone nonatomic aggregative games. We then show that, for a sequence of finite-player aggregative games with aggregative constraints, if the players' pure-action sets converge to those of a strongly (resp. aggregatively strongly) monotone nonatomic aggregative game, and the aggregative constraints in the finite-player games converge to the aggregative constraint of the nonatomic game, then a sequence of so-called variational Nash equilibria in these finite-player games converge to the variational Wardrop equilibrium in pure-action profile (resp. aggregate-action profile). In particular, it allows the construction of an auxiliary sequence of games with finite-dimensional equilibria to approximate the infinite-dimensional equilibrium in such a nonatomic game. Finally, we show how to construct auxiliary finite-player games for two general classes of nonatomic games.

연구 동기 및 목표

• 연속된 행동 집합과 비연속 비용 함수를 가진 비원자적 집합 게임에 대한 이론적 프레임워크 부족 문제를 해결한다.
• 결합 집합적 제약 조건이 있는 게임에 대해 엄밀한 균형 개념인 변분 Wardrop 균형(VWE)을 제안한다.
• 강한 단조성 조건 하에서 유한 플레이어 근사값(pseudo-VNE)이 VWE로 수렴함을 확립한다.
• 복잡한 비원자적 게임을 근사하기 위한 보조 유한 플레이어 게임의 일반적 구성 방법을 개발한다.
• 이질적이고 연속적인 행동 집합, 비연속 수익을 가진 설정에서 유한 플레이어 게임과 비원자적 게임 간 격차를 메운다.

제안 방법

• 이질적이고 컴act한 볼록 행동 집합을 가진 플레이어의 연속체를 모델링하기 위해 순수 행동 프로파일을 L² 함수로 공식화한다.
• 변분 Wardrop 균형(VWE)을 무한차원 일반화된 변분방향부등식(GVI)의 해로 특성화한다.
• 강한 단조성 또는 집합적 강한 단조성 조건을 가정하여 VWE의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 원래의 비원자적 게임으로 수렴하는 집합적 제약 조건이 있는 유한 플레이어 게임의 수열(pseudo-AAS)을 구성한다.
• 유한 플레이어 게임에서 개별 플레이어가 집합적 행동에 미치는 영향을 忽略한 채로, 가짜-변분 내쉬 균형(pseudo-VNE)을 정의하며, 이를 유한차원 GVI의 해로 간주한다.
• 강한 단조성 조건 하에서, 집합적 행동 또는 순수 행동 프로파일에서의 pseudo-VNE 해가 VWE로 수렴함을 증명하며, 명시적인 오차 한계를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비연속 비용 함수와 결합 집합적 제약 조건이 있는 비원자적 집합 게임에서 변분 Wardrop 균형이 존재하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 이러한 게임에서 변분 Wardrop 균형이 유일한가?
• RQ3 결합 제약 조건이 있는 비원자적 게임의 유한 플레이어 근사값이 진정한 VWE로 수렴할 수 있는가?
• RQ4 연속된 행동 집합과 비연속 비용을 가진 주어진 비원자적 게임을 근사하는 유한 플레이어 게임을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 단조성 매개변수와 근사 오차에 기반해, 유한 플레이어 균형이 VWE로 수렴하는 속도를 제어하는 오차 한계는 무엇인가?

주요 결과

• 강한 단조성 조건 하에서, 결합 집합적 제약 조건과 비연속 비용 함수를 가진 비원자적 집합 게임에서 변분 Wardrop 균형(VWE)이 존재한다.
• 게임가 엄격 단조적이거나 집합적 엄격 단조일 경우, VWE는 유일하다.
• 강도 β를 가진 집합적 강한 단조성 조건 하에서, 가짜-VNE의 집합적 행동 프로파일은 오차 한계 ‖X̂ν − X*‖² ≤ (1/β)((3Bf + 1)KA max(Dν, δ̄ν) + (2M + 1)ḋν) 로 VWE로 수렴한다.
• 강도 α를 가진 강한 단조성 조건 하에서, 가짜-VNE의 순수 행동 프로파일은 L²-노름에서 VWE로 수렴하며 오차 한계는 ‖ψν(𝐱̂ν) − 𝐱*‖²₂ ≤ (1/α)((3Bf + 1)KA max(Dν, δ̄ν) + (2M + 1)ḋν) 이다.
• 집합적 제약 조건이 없을 경우, 오차 한계는 KA와 Dν를 0으로 설정함으로써 단순화된다.
• 유한 플레이어 게임의 행동 집합과 제약 조건이 비원자적 게임의 것으로 수렴하고, δ̄ν, Dν, ḋν에 대해 적절한 오차 제어가 이루어지는 조건 하에서 수렴 결과가 성립한다.