[논문 리뷰] Nonsoluble and non-p-soluble length of finite groups

E. I. Khukhro, Pavel Shumyatsky|arXiv (Cornell University)|2013. 10. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 유한군의 비해결 부분군 길이 λ(G)와 비-p-해결 부분군 길이 λₚ(G)에 대한 상계를 각각 그 해체 부분군의 2-길이와 p-길이에 따라 설정한다. λ(G) ≤ 2L₂ + 1 및 λₚ(G) ≤ Lₚ (p ≠ 2)임을 증명하며, 잔류 유한군에서의 언어적 부분군에 관한 이전 증명의 결함을 수정하는 데 응용한다.

ABSTRACT

Every finite group $G$ has a normal series each of whose factors either is soluble or is a direct product of nonabelian simple groups. We define the nonsoluble length $λ(G)$ as the minimum number of nonsoluble factors in a series of this kind. Upper bounds for $λ(G)$ appear in the study of various problems on finite, residually finite, and profinite groups. We prove that $λ(G)$ is bounded in terms of the maximum $2$-length of soluble subgroups of $G$, and that $λ(G)$ is bounded by the maximum Fitting height of soluble subgroups. For an odd prime $p$, the non-$p$-soluble length $λ_p(G)$ is introduced, and it is proved that $λ_p(G)$ does not exceed the maximum $p$-length of $p$-soluble subgroups. We conjecture that for a given prime $p$ and a given proper group variety ${\frak V}$ the non-$p$-soluble length $λ_p(G)$ of finite groups $G$ whose Sylow $p$-subgroups belong to ${\frak V}$ is bounded. In this paper we prove this conjecture for any variety that is a product of several soluble varieties and varieties of finite exponent.

연구 동기 및 목표

• 유한군의 비해결 길이 λ(G)에 대한 상계를 그 해체 부분군의 구조적 성질에 기반해 설정하는 것.
• 비-2가 소수 p에 대해 비-p-해결 길이 λₚ(G)를 도입하고, 이에 대한 상계를 설정하는 것. 이는 비해결 길이와 유사하다.
• Sylow p-부분군이 해체 및 유한 지수 다양체의 곱에 속하는 유한군에 대해 비-p-해결 길이가 유계임을 증명하는 추측을 해결하는 것.
• Khukhro & Shumyatsky (2012)의 논문에서 언어적 부분군에 관한 Proposition 3.3의 증명에 존재하는 심각한 오류를 수정하는 것.
• 피팅 높이와 비해결 길이 상계를 활용하여, 잔류 유한군에서 언어적 부분군 지수의 유계성을 재증명하는 것.

제안 방법

• G의 정규부분군 길이에서 비해결인 요소가 포함된 정규부분군 길이 λ(G)를 정의한다. 이는 해체 또는 비아벨 단순군의 직적을 요소로 가지는 정규부분군 길이의 최소값이다.
• 정의에서 '해체'를 'p-해체'로 대체하여 비-p-해결 길이 λₚ(G)를 도입한다.
• 해체 부분군의 최대 2-길이를 사용하여, 정규부분군 길이의 재귀적 구성 방식을 통해 λ(G)를 유계화한다.
• p-해체 부분군의 최대 p-길이를 사용하여 λₚ(G)를 유계화하며, p ≠ 2인 경우 정교한 증명을 적용한다.
• 해체 부분군의 최대 피팅 높이에 의해 λ(G)가 유계임을 보여주는 보조정리 1.2를 활용하여 이전 증명에서의 잘못된 추론을 수정한다.
• 존슨의 결과(무한한 유한 단순군의 가닥이 유한군 다양체를 생성함)를 적용하여 정규부분군 길이의 비해결 부분의 크기를 유계화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한군 G의 비해결 길이 λ(G)는 그 해체 부분군의 2-길이에 의해 유계가 될 수 있는가?
• RQ2 홀수 소수 p에 대해 비-p-해결 길이 λₚ(G)는 p-해체 부분군의 p-길이에 의해 유계가 될 수 있는가?
• RQ3 Sylow p-부분군이 해체 및 유한 지수 다양체의 곱에 속하는 유한군에 대해 비-p-해결 길이 λₚ(G)는 여전히 유계인가?
• RQ4 Khukhro & Shumyatsky (2012)의 Lemma 2.5에서 발생한 오류는 비해결 길이의 새로운 상계를 사용하여 수정할 수 있는가?
• RQ5 결함이 있는 보조정리에 의존하지 않고도, 잔류 유한군에서 언어적 부분군 지수의 유계성을 재증명할 수 있는가?

주요 결과

• 유한군 G의 비해결 길이 λ(G)는 2L₂ + 1 이하로 유계이며, 여기서 L₂는 그 해체 부분군의 최대 2-길이다.
• p ≠ 2일 때, 비-p-해결 길이 λₚ(G)는 G의 p-해체 부분군의 최대 p-길이 이하로 유계이다.
• 비해결 길이 λ(G)는 G의 해체 부분군의 최대 피팅 높이 이하로 유계이다.
• Sylow p-부분군이 해체 및 유한 지수 다양체의 곱에 속하는 유한군에 대해 λₚ(G)가 유계임을 증명하는 추측은 참으로 밝혀졌다.
• Khukhro & Shumyatsky (2012)의 언어적 부분군에 관한 증명에서 발생한 결함은 보조정리 1.2와 비해결 길이의 새로운 상계를 통해 수정되었다.
• 수정된 증명은 유한군 G의 크기가 k, m, n에 따라 유계짐을 보여주며, 이는 모든 896 δₖ-교환자들의 곱이 지수 n을 가지며, 생성자가 순서 제약 조건을 만족할 경우에 해당한다.