[논문 리뷰] Nonstatic cylindrically symmetric vacuum spacetimes in generalized Kasner form

Özgür Delice|arXiv (Cornell University)|2004. 11. 01.

Advanced Differential Geometry Research인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비정적, 원통대칭 진공 시공간을 연구하기 위해 메트릭 함수의 분리가능성을 가정하여, 정적 Levi-Civita 경우의 각 매개변수 값에 대해 두 개의 비정적 해를 도출한다. 핵심 결과는 이전의 시간에 의존하는 진공 해를 일반화한 해이며, 원통대칭에서 Birkhoff 정리의 부재를 강조하고, 원통대칭 수축 중 중력파가 방출될 수 있음을 확인한다.

ABSTRACT

Cylindrically symmetric nonstatic vacuum space-times are studied assuming the separability of the metric functions. We see that for any value of the parameter of the static case, there are two corresponding nonstatic solutions in general. Some of the physical properties of the solutions are discussed and compared with the static Levi-Civita spacetime. According to Birkhoff’s theorem all spherically symmetric vacuum spacetimes can be represented by a static solution, namely, the Schwarzschild solution. Due to this fact, there is no gravitational wave emitted during spherical collapse. However, the situation drastically changes when we consider cylindrically symmetric systems since there is no analogue of this theorem in cylindrical symmetry. During gravitational collapse of a cylindrically symmetric system, gravitational waves are emitted and the exterior region of a collapsing cylindrical body is not static [1]. Time-dependent solutions of Einstein equations were studied for different cylindrical systems. An expanding cylindrical radiation filled universe [2], a radiation universe with heat flow [3], nonstatic cosmic strings with a time dependent vacuum exterior [4, 5, 6], nonstatic global strings [7] are some examples of such solutions. It is important to have time dependent vacuum solutions if one wants to match a cylindrical time dependent source with vacuum exterior region. Thus in this paper, we will study cylindrically symmetric time dependent vacuum solutions. It turns out that our solution will be generalization of a solution presented in some of the above papers. If ∂z and ∂φ are the axial and the angular killing vectors desribing cylindrical symmetry, then the most general cylindrically symmetric metric in diagonal form can be written as [8]: ds 2 = e 2(K−U) (−dt 2 + dr 2) + e 2U dz 2 + e −2U W 2 dφ 2, (1)

연구 동기 및 목표

• 원통대칭에서 Birkhoff 정리의 부재가 있는 비정적 원통대칭 진공 해를 조사하는 것.
• 기존 정적 및 동적 해를 일반화하는 시간에 의존하는 진공 해가 존재하는지 확인하는 것.
• 유도된 비정적 해의 물리적 성질을 정적 Levi-Civita 시공간과 비교하는 것.
• 일반 상대성 이론에서 시간에 의존하는 원통형 소스와 진공 외부를 매칭하기 위한 프레임워크를 수립하는 것.
• 원통대칭에서 메트릭 함수의 분리가 정확한 해를 구성하는 데 미치는 영향을 탐구하는 것.

제안 방법

• 일반적인 원통대칭 대각 메트릭 형태에서 메트릭 함수의 분리가능성을 가정한다.
• 메트릭 가정: ds² = e²⁽ᴷ⁻ᵁ⁾(−dt² + dr²) + e²ᵁ dz² + e⁻²ᵁ W² dφ², 여기서 K, U, W는 r와 t의 함수이다.
• 분리 가능한 메트릭에 아인슈타인의 진공 장 방정식을 적용하여 편미분 방정식의 체계를 도출한다.
• 분리가능성 가정 하에 방정식을 풀어, 정적 매개변수 값 각각에 대해 두 개의 비정적 해를 얻는다.
• 유도된 해를 정적 Levi-Civita 시공간과 기존 문헌의 시간에 의존하는 해들과 비교한다.
• 중력파 방출의 맥락에서 곡률 및 인과적 구조와 같은 해의 물리적 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 메트릭 함수의 분리가능성을 가정할 때 비정적 원통대칭 진공 해를 도출할 수 있는가?
• RQ2 이 비정적 해들은 정적 Levi-Civita 시공간과 물리적으로 어떻게 비교되는가?
• RQ3 원통대칭에서 Birkhoff 정리의 부재가 중력파 방출에 미치는 역할은 무엇인가?
• RQ4 유도된 해는 이전에 알려진 원통형 시스템의 시간에 의존하는 진공 해를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 이 해들은 시간에 의존하는 원통형 소스를 진공 외부와 매칭하는 데 어떤 함의를 지닌다?

주요 결과

• 정적 Levi-Civita 해의 각 매개변수 값에 대해 두 개의 비정적 진공 해가 존재함을 확인하여, 시간에 의존하는 경우에 더 풍부한 해 공간이 있음을 시사한다.
• 유도된 해는 비정적 우주 끈이나 글로벌 끈을 포함한 기존의 시간에 의존하는 원통형 시스템의 진공 해를 일반화한다.
• 원통대칭에서 Birkhoff 정리의 부재는 원통대칭 물체의 수축 중 중력파가 방출될 수 있음을 의미한다.
• 메트릭 함수에 명시적인 시간 의존성이 존재하여, 수축하는 원통형 소스의 외부 시공간이 정적이지 않음을 확인한다.
• 분리 가정은 정확한, 물리적으로 의미 있는 진공 해를 도출할 수 있는 접근 가능하고도 타당한 방정식 체계를 제공한다.
• 비정적 해의 물리적 성질은 곡률 및 인과적 구조 측면에서 정적 경우와 상당히 다름을 보이며, 이는 중력 복사 방출을 뒷받침한다.