[논문 리뷰] Nontrivial solutions for a class of gradient-type quasilinear elliptic systems

Anna María Candela, Caterina Sportelli|arXiv (Cornell University)|2022. 03. 10.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 p-라플라시안 유형의 연산자를 포함하는 경사도 유형의 비선형 타원형 시스템에 대해 비자명한 약한 유계 해의 존재성을 확립한다. 특수한 바나흐 공간 X에서 문제를 변분적으로 제시함으로써, 저자들은 관련 에너지 함수 J가 C¹이면서, 초임계 성장과 암브로세티–라빈로비츠 유형의 조건 하에서 약한 세라미–팔라이–스말라 조건을 만족함을 증명한다. 일반화된 산맥 정리들을 활용하여, 대칭 조건 하에서 최소한 하나의 임계점이 존재하고, J가 짝함수일 경우 무수히 많은 임계점이 존재함을 보였다.

ABSTRACT

The aim of this paper is investigating the existence of weak bounded solutions of the gradient-type quasilinear elliptic system $$(P)\qquad \left\{ \begin{array}{ll} - { m div} ( a_i(x, u_i, abla u_i) ) + A_{i, t} (x, u_i, abla u_i) = G_i(x, \mathbf{u}) &\hbox{ in $\Omega$}\\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad \mbox{ for }\; i\in\{1,\dots,m\},\\ \mathbf{u} = 0 &\hbox{ on $\partial\Omega$,} \end{array} ight.$$ with $m\geq 2$ and $\mathbf{u}=(u_1,\dots, u_{m})$, where $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ is an open bounded domain and some functions $A_i:\Omega imes\mathbb{R} imes \mathbb{R}^N ightarrow\mathbb{R}$, $i\in\{1,\dots,m\}$, and $G:\Omega imes\mathbb{R}^m ightarrow\mathbb{R}$ exist such that $a_i(x,t,\xi) = abla_{\xi} A_i(x,t,\xi)$, $A_{i, t} (x,t,\xi) = \frac{\partial A_i}{\partial t} (x,t,\xi)$ and $G_{i}(x,\mathbf{u}) = \frac{\partial G}{\partial u_i}(x,\mathbf{u})$. We prove that, under suitable hypotheses, the functional $\mathcal{J}$ related to problem $(P)$ is $\mathcal{C}^1$ on a "good" Banach space $X$ and satisfies the weak Cerami-Palais-Smale condition. Then, generalized versions of the Mountain Pass Theorems allow us to prove the existence of at least one critical point and, if $\mathcal{J}$ is even, of infinitely many ones, too.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 m ≥ 2개의 방정식을 포함하는 경사도 유형의 비선형 타원형 시스템에 대해 약한 유계 해의 존재성을 확립한다.
• 적절한 바나흐 공간 X에서 관련 에너지 함수가 C¹이 되고, 약한 세라미–팔라이–스말라 조건을 만족하는 데 필요한 충분조건을 규명한다.
• 일반화된 산맥 정리들을 활용하여 에너지 함수의 최소한 하나의 비자명한 임계점 존재성을 증명한다.
• 함수 J가 짝함수일 경우에 대해 결과를 확장하여 대칭 조건 하에서 무수히 많은 임계점 존재성을 증명한다.

제안 방법

• 에너지 함수 J(u) = ∑ᵢ∫Ω Ai(x, ui, ∇ui)dx − ∫Ω G(x, u)dx 를 정의함으로써 문제를 변분 문제로 제시한다. 이때 X = ∏ᵢ(Xᵢ ∩ L∞(Ω))이며, Xᵢ ⊂ W¹,pi₀(Ω)인 바나흐 공간 X에서 고려한다.
• Ai 및 그 ∂/∂ξ, ∂/∂t 편도함수에 대한 C¹-카라테오도리 조건과 성장 한계를 도입함으로써, J가 X 위에서 C¹ 정규성을 확보한다.
• 다중 노름 간의 상호작용을 활용하여, 고전적 팔라이–스말라 조건이 실패할 수 있는 상황에서, 약한 세라미–팔라이–스말라 조건 (wCPS)β를 도입한다.
• 문헌 [9]의 추상 임계점 이론을 적용하기 위해, wCPSβ 조건을 검증한다. 이는 G(x, u)의 초임계 성장과 암브로세티–라빈로비츠 유형 조건을 활용한다.
• 유한차원 부분공간의 대칭성과 결합된, [8]에서 제시된 W¹,pi₀(Ω) 공간의 '좋은' 분해를 활용하여 무한차원 설정을 다루고, 다중성에 대한 (H̺) 조건을 검증한다.
• 추상 임계점 이론의 보조정리 2.4를 적용하여, J가 짝함수일 경우 임계 수준가 무한히 발산하는 수열이 존재함을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경사도 유형의 비선형 타원형 시스템에 관련된 에너지 함수가 적절한 바나흐 공간 X에서 약한 세라미–팔라이–스말라 조건을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 초임계 성장과 암브로세티–라빈로비츠 유형 조건 하에서 이러한 시스템에 대해 최소한 하나의 비자명한 약한 유계 해가 보장되는가?
• RQ3 에너지 함수가 짝함수일 경우, 어떤 조건이 무수히 많은 해의 존재를 보장하는가?
• RQ4 X 위에서 다양한 노름 간의 상호작용은 고전적 세라미–팔라이–스말라 조건이 실패할 경우 약한 세라미–팔라이–스말라 조건의 검증을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 소볼레프 공간의 분해는 대칭 함수에 대한 다중성 결과 증명에서 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• Ai 및 그 편도함수에 대한 적절한 C¹ 정규성과 성장 조건 하에서, 바나흐 공간 X = ∏ᵢ(Xᵢ ∩ L∞(Ω))에서 Xᵢ ⊂ W¹,pi₀(Ω) 이면 에너지 함수 J는 C¹이다.
• G(x, u)에 대한 암브로세티–라빈로비츠 유형 조건과 초임계 성장 조건 하에서, 고전적 팔라이–스말라 조건이 실패할 수 있음에도 불구하고, 약한 세라미–팔라이–스말라 조건 (wCPS)β를 만족한다.
• G가 영점 근처 및 무한대에서 국소적으로 잘 행동함을 가정할 경우, J(u∗) ≥ ̺₀ > J(0) = 0 인 비자명한 최소한 하나의 임계점이 존재한다.
• J가 짝함수일 경우, 기하학적으로 서로 다른 무수히 많은 임계점이 존재하며, 이는 발산하는 임계 수준의 수열을 이룬다.
• 유한차원 부분공간과 X의 대칭 부분공간을 활용하고 (H̺) 조건을 도입함으로써, 임계 수준이 무한히 발산하는 수열의 존재성이 확립된다.
• 증명은 ∫Ω Ai(x, ui, ∇ui)dx 와 ∫Ω G(x, u)dx 의 성장 분석을 정교하게 다루며, 특히 유한차원 부분공간에서의 보간 부등식과 노름 동치성의 활용에 기반한다.