[논문 리뷰] Nonuniform Dichotomy Spectrum and Normal Forms for Nonautonomous Differential Systems

Xiang Zhang|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 30.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 27인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 비자율 비선형 미분계열에 대해 비균일 지배 스펙트럼을 갖는 선형 부분에 대해 유한 제트 정규형을 수립한다. 비균일 지수 지배를 허용하는 선형 부분에 대해 비균일 지배 스펙트럼을 도입함으로써, 스펙트럼 조건 하에서 유계 시간에 의존하는 다항변환을 통해 시스템이 정규형으로 변환될 수 있음을 증명한다. 이는 고전적 정규형 이론을 비균일 하이퍼볼릭성을 지닌 비자율 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the normal forms of nonautonomous differential systems. For doing so, we first investigate the nonuniform dichotomy spectrum of the linear evolution operators that admit a nonuniform exponential dichotomy, where the linear evolution operators are defined by nonautonomous differential equations $\dot x=A(t)x$ in $\R^n$. Using the nonuniform dichotomy spectrum we obtain the normal forms of the nonautonomous linear differential equations. Finally we establish the finite jet normal forms of the nonlinear differential systems $\dot x=A(t)x+f(t,x)$ in $\R^n$, which is based on the nonuniform dichotomy spectrum and the normal forms of the nonautonomous linear systems.

연구 동기 및 목표

• 비자율 미분계열에 대해 고전적 정규형 이론을 비균일 하이퍼볼릭성으로 확장하기 위해.
• 비자율 시스템과 관련된 선형 진화 연산자에 대해 비균일 지배 스펙트럼을 정의하고 분석하기 위해.
• 스펙트럼 및 역학적 성질을 사용하여 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ 형태의 비선형 시스템에 대해 유한 제트 정규형을 구성하기 위해.
• 시스템을 정규형으로 줄이기 위해 유계 시간에 의존하는 다항변환의 존재를 증명하기 위해.
• 자율적이고 균일하게 하이퍼볼릭인 시스템의 결과를 비균일 하이퍼볼릭성과 비자율 설정으로 일반화하기 위해.

제안 방법

• 비균일 지수 지배를 갖지 않는 경우를 포함하여 $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$가 비균일 지수 지배를 갖지 않는 실수 $\gamma \in \mathbb{R}$의 집합으로서 비균일 지배 스펙트럼 $\Sigma(A)$를 도입한다.
• 시간에 의존하는 상수 $K$, $\alpha < 0 < \beta$, 그리고 $\mu, \nu \geq 0$를 포함하는 비균일 지수 지배를 정의하며, 이는 $\alpha + \mu < 0$, $\beta - \nu > 0$, 그리고 $\max\{\mu, \nu\} \leq \min\{-\alpha, \beta\}$ 를 만족한다.
• 불변 투영 $P(t)$와 진화 연산자 $\Phi(t,s)$를 사용하여 지배 구조와 스펙트럼 분해를 특성화한다.
• 연속적인 근사법을 적용하여 유계 시간에 의존하는 변환 $x = y + h(t,y)$를 구성하며, 여기서 $h(t,y)$는 차수 $2k-5$의 다항식이다.
• 적분 기준과 지수 감쇠 추정치를 사용하여 $h_{r1}^{(\tau,j)}(t)$의 계수에 대한 재귀적 추정치를 유도한다. 이는 $\varrho$, $\omega_{\tau,j}$, $D_{\tau,j}$ 를 포함한다.
• 유도와 적분 추정치를 통해 변환의 수렴성과 유계성을 증명하며, $t \neq 0$에 대해 $\|h_{r+1,1}^{(\tau,j)}(t)\| \leq C e^{-\left(rk - \frac{r(r+5)}{2}\right)\varrho |t|}$ 를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 지수 지배를 갖는 비자율 시스템에 대해 정규형 이론을 확장할 수 있는가?
• RQ2 비균일 지배 스펙트럼은 어떻게 정의되며, 선형 비자율 시스템의 스펙트럼 분해에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 유계 시간에 의존하는 다항변환을 통해 비선형 비자율 시스템 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$가 정규형으로 변환될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 정규형 구성에서 변환 계수의 감쇠 속도와 유계성 성질은 무엇인가?
• RQ5 스펙트럼 조건 $\alpha + \mu < 0$, $\beta - \nu > 0$, 그리고 $\max\{\mu, \nu\} \leq \min\{-\alpha, \beta\}$ 는 정규형의 존재성과 정칙성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 비균일 지배 스펙트럼 $\Sigma(A)$ 는 잘 정의되어 있으며, 편항된 시스템 $\dot{x} = (A(t) - \gamma I)x$가 비균일 지수 지배를 갖지 않는 값 $\gamma$ 를 특성화한다.
• 선형 시스템 $\dot{x} = A(t)x$ 는 스펙트럼 간격에 대응하는 불변 선형 적분 다각형으로 분해되며, 이는 스펙트럼 분석을 가능하게 한다.
• 비선형 시스템 $\dot{x} = A(t)x + f(t,x)$ 에 대해 시간에 의존하는 다항변환 $x = y + h(t,y)$ (여기서 $h(t,y)$ 는 차수 $2k-5$) 를 사용하여 시스템을 정규형 $\dot{y} = By + g(t,y)$ 로 변환할 수 있다.
• 변환의 계수 $h_{r1}^{(\tau,j)}(t)$ 는 균일하게 유계이며 지수 감쇠 추정치를 만족한다: $t \neq 0$ 에 대해 $\|h_{r+1,1}^{(\tau,j)}(t)\| \leq C e^{-\left(rk - \frac{r(r+5)}{2}\right)\varrho |t|}$.
• 정규형은 차수 $2k-5$ 까지 성립하며, 변환 계수는 유계이며 수렴성은 유도와 적분 추정치에 의해 보장된다.
• 구성은 정규형이 유한 제트임을 보장한다. 즉, 변환은 유한 차수의 다항식이며 나머지는 고차항이 되며, 스펙트럼 구조를 유지한다.