[논문 리뷰] Nonzero-sum stochastic differential games with impulse controls : a verification theorem with applications

René Aïd, Matteo Basei외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 29.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 충격 제어를 갖는 비제로 합계 확률적 미분 게임에 대한 검증 정리를 개발하며, 나시 균형을 특징짓는 쌍방향 변이부등식(QVIs)의 체계를 수립한다. 이 프레임워크를 일차원 충격 게임에 적용하여 선형 주행 수익 구조를 갖는 경우에 대해 명시적인 나시 균형을 구하고, 균형 전략과 수익의 닫힌 형식 표현식을 유도하며, 개입 비용에 대한 점점 가까운 분석과 비대칭 케이스(포함하여 삼차 수익)의 수치적 해를 제공한다.

ABSTRACT

We consider a general nonzero-sum impulse game with two players. The main mathematical contribution of the paper is a verification theorem which provides, under some regularity conditions, a suitable system of quasi-variational inequalities for the value functions and the optimal strategies of the two players. As an application, we study an impulse game with a one-dimensional state variable, following a real-valued scaled Brownian motion, and two players with linear and symmetric running payoffs. We fully characterize a Nash equilibrium and provide explicit expressions for the optimal strategies and the value functions. We also prove some asymptotic results with respect to the intervention costs. Finally, we consider two further non-symmetric examples where a Nash equilibrium is found numerically.

연구 동기 및 목표

• 비제로 합계 확률적 미분 게임에 대한 일반적인 검증 정리를 개발한다.
• 정규성 및 성장 조건 하에서 쌍방향 변이부등식(QVIs)의 체계를 통해 나시 균형을 특징짓는다.
• 선형 주행 수익과 충격 비용을 갖는 대칭적인 일차원 충격 게임을 명시적으로 해결한다.
• 개입 비용에 따른 균형의 점점 가까운 행동을 분석한다.
• 삼차 수익 또는 선형-삼차 혼합 수익 구조를 갖는 비대칭 케이스로 프레임워크를 확장하며, 이 경우 수치적으로 해결한다.

제안 방법

• 스케일된 브라운 운동에 의해 지배되는 두 플레이어의 비제로 합계 충격 게임을 수립한다.
• 플레이어 수익을 할인된 주행 이득/손실의 적분과 함께 이산적 충격 보상 및 벌점으로 정의하며, 동시에 발생하는 개입에 대한 우선순위 규칙을 설정한다.
• 무한소 생성자 A, 개입 연산자 Mi 및 Hi, 그리고 수익 함수 Vi를 포함하는 결합된 QVI 체계를 유도한다.
• 검증 정리 수립: Vi가 QVI 체계를 만족하고 정규성 및 성장 조건을 충족하면, 이는 균형 수익을 나타낸다.
• 비대칭 선형 케이스에 이 정리를 적용하기 위해 후보 해를 구성하고, 분석적 및 단조성 논증을 통해 QVI 조건을 검증한다.
• 비대칭 케이스(삼차, 혼합 선형-삼차)에 대해서는 8개 방정식의 QVI 체계를 수치적으로 해결하고 균형을 위한 충분 조건을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 플레이어가 참여하는 비제로 합계 충격 게임에서, 쌍방향 변이부등식(QVIs) 체계가 나시 균형을 특징짓는 데 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ2 일차원 대칭 충격 게임에서 선형 주행 수익이 주어졌을 때, 균형 전략과 수익의 명시적 형태는 어떻게 되는가?
• RQ3 개입 비용은 이러한 게임에서 균형의 구조와 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 삼차 또는 혼합 선형-삼차 수익 구조와 같은 비대칭 수익 구조에 대해 검증 정리를 적용할 수 있는가?
• RQ5 해석적 해가 존재하지 않을 경우, 결과적으로 유도되는 QVI 체계를 해결하는 데 효과적인 수치적 방법은 무엇인가?

주요 결과

• 대칭 선형 케이스에서는 나시 균형의 가족이 존재하며, 플레이어 1은 X < ¯x1일 때 개입하여 이를 x∗1로 이동시키고, 플레이어 2는 X > ¯x2일 때 개입하여 이를 x∗2로 이동시킨다.
• 모델 매개변수 ρ, σ, c, ˜c, λ, ˜λ, s1, s2를 포함하여 ¯x1, ¯x2, x∗1, x∗2 및 균형 수익 V1과 V2의 명시적 표현식이 도출된다.
• c = ˜c 이고 λ = ˜λ일 경우, 타당한 나시 균형이 존재하지 않으며, 이는 비용 대칭성의 임계 기준을 나타낸다.
• ˜s가 증가함에 따라 계속 영역 ]¯x1, ¯x2[ 오른쪽으로 이동하며, V2(x)는 ˜s에 대해 감소한다. 이때 극한은 V+∞2 (x) = −∞ 와 V−∞2 (x) = +∞ 이다.
• 삼차 수익의 경우, 8개 방정식 QVI 체계의 수치적 해를 통해 특정 매개변수 값에서 ¯x1 = −0.732, ¯x2 = 0.464, x∗1 = 0.186, x∗2 = −0.453를 도출한다.
• 혼합 선형-삼차 케이스에서는 계속 영역 ]¯x1, ¯x2[ 이 s1에 더 가까워지며, 더 급격한 수익 곡률로 인해 플레이어 1이 더 높은 개입 유인을 갖는다.