[논문 리뷰] Nordhaus-Gaddum inequalities for the number of 1-nearly independent vertex subsets

Eric O. D. Andriantiana, Zekhaya B. Shozi|arXiv (Cornell University)|2026. 02. 18.

Limits and Structures in Graph Theory인용 수 0

한 줄 요약

논문은 1-가깝지 않은 정점 부분집합의 수에 대해 Nordhaus-Gaddum 유형의 상한과 하한을 도출하고, 타이트한 하한/상한을 확립하며 극값 그래프와 트리를 식별한다.

ABSTRACT

For a graph $G$, a vertex subset is called \emph{$1$-nearly independent} if the subgraph it induces contains exactly one edge. Let $σ_1(G)$ denote the number of such subsets in $G$. In this paper, we study Nordhaus-Gaddum type inequalities for $σ_1$, that is, bounds on the sum $σ_1(G)+σ_1(\overline{G})$, where $\overline{G}$ denotes the complement of $G$. We establish that, for any $n$-vertex graph $G$, we have $σ_1(G)+σ_1(\overline{G})\geq n(n-1)/2,$ with equality if and only if $G$ is either complete or edgeless. We further obtain that among all trees of order $n$, the star $K_{1,n-1}$ uniquely minimises $σ_1(T)+σ_1(\overline{T})$. Finally, we prove that for all graphs of order $n \ge 6$, \[ σ_1(G)+σ_1(\overline{G}) \le \frac{27}{64}\,2^{n} + \frac{1}{2}(n+2)(n-3), \] with equality if and only if $G$ or $\overline{G}$ is isomorphic to $3K_2 \cup \overline{K_{n-6}}$.

연구 동기 및 목표

• 그래프의 독립 부분집합의 자연스러운 확장으로서 σ1의 연구 필요성 제시.
• n-정점 그래프에 대해 σ1(G)+σ1(Ḡ)의 타이트한 하한과 상한을 확립.
• 이 경계에서 같은 값을 달성하는 극값 그래프와 트리를 특성화.
• 그래프 구조(완전 그래프, 간선이 없는 그래프, 별, 그리고 특정 합성에 대한 3K2의 보완 포함)에 대한 1-가깝지 않은 부분집합과의 관계를 확장하여 이해 확장.

제안 방법

• σ1(G)에 대한 알려진 재귀 관계(Lemma 1)를 이용하여 정점 제거 및 이웃집합에 따른 개수를 분해한다.
• σ1(G)=|E(G)| 인 좋은 그래프의 개념(제2) 활용.
• 일반 그래프와 트리에 대해 타이트한 경계를 도출하기 위한 극값 그래프 구성 및 경우 분석.
• 이전의 σ1에 대한 극값(그래프에서의 Theorem 1)을 사용하여 σ1(G)+σ1(Ḡ)에 대한 경계에 정보를 제공한다.
• 완전 그래프, 별, 보완을 포함한 3K2의 합성 형태와 같은 구조적 형태에서 동등성의 경우를 특성화한다.
• 선정된 극값 구성에 대한 명시적 공식(예: 3K2∪Ḱn−6)을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 n-정점 그래프 G에 대해 σ1(G)+σ1(Ḡ)의 타이트한 하한과 상한은 무엇인가?
• RQ2 이 경계를 달성하는 그래프 또는 그래프족(극값 그래프)은 무엇이며 어떤 조건에서인가?
• RQ3 σ1(T)+σ1(Ḋ)에 대한 트리의 극값 구조는 무엇이며 합을 최소화하는 트리는 무엇인가?
• RQ4 보완 연산에서 σ1의 거동은 어떠하며, 알려진 극값 σ1 결과가 σ1(G)+σ1(Ḡ) 경계에 어떤 정보를 주는가?
• RQ5 최대 합에 대한 명시적 극값 그래프를 3K2∪Ḱn−6와 같은 알려진 후보를 넘어 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• 임의의 n-정점 G에 대해 σ1(G)+σ1(Ḡ) ≥ n(n−1)/2 이며, 등식은 G가 K_n 또는 Ḱn일 때만 성립한다.
• 정점 수 n인 트리 중에서 별 K1,n−1가 유일하게 σ1(T)+σ1(Ḋ)을 최소화한다.
• n ≥ 6일 때, σ1(G)+σ1(Ḡ) ≤ (27/64)·2^n + (1/2)(n+2)(n−3) 이고 등식은 G 또는 Ḡ ≅ 3K2 ∪ Ḱn−6일 때 성립한다.
• 극값 구성으로는 σ1(3K2∪Ḱn−6)+σ1(Ḡ) 가 상한과 일치하는 구성 및 상한 달성에 기여하는 K_n, K_{n−6}∨G_{6,4} 등의 관련 형태가 있다.
• 최댓값 사례는 σ1의 이미 알려진 극값 구성과 일치하여 보완 그래프와의 합도 동일한 구성을 최대로 만든다는 것을 확인한다.
• 이 논문은 n ≦ 9에 대한 SageMath 기반 검증과 n ≥ 10에 대한 자세한 귀납적 증명을 제공한다.