[논문 리뷰] Nordhaus-Gaddum-type theorem for conflict-free connection number of graphs

Hong Chang, Zhong Huang외 3명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 23.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 그래프의 충돌 없는 연결 수(cfc)에 대한 노르다우스-가드룸 유형 정리(정리)를 수립하며, 임의의 연결 그래프 $G$와 그 여집합 $¯{G}$에 대해 합 $cfc(G) + cfc(¯{G})$가 $4 \leq cfc(G) + cfc(¯{G}) \leq n$을 만족하고, 곱이 $4 \leq cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) \leq 2(n-2)$를 만족함을 증명한다. 이 경계는 날카롭고, 등호가 성립하는 것은 $G$ 또는 $¯{G}$ 중 하나가 최대 차수 $n-2$인 나무이거나 $P_5$와 동형일 때에만 성립한다. 이 작업은 극단적인 cfc 값을 갖는 그래프를 특성화하고, 보완 그래프의 cfc 수치에 대한 날카로운 경계를 제공한다.

ABSTRACT

An edge-colored graph $G$ is \emph{conflict-free connected} if, between each pair of distinct vertices, there exists a path containing a color used on exactly one of its edges. The \emph{conflict-free connection number} of a connected graph $G$, denoted by $cfc(G)$, is defined as the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ conflict-free connected. In this paper, we determine all trees $T$ of order $n$ for which $cfc(T)=n-t$, where $t\geq 1$ and $n\geq 2t+2 $. Then we prove that $1\leq cfc(G)\leq n-1$ for a connected graph $G$, and characterize the graphs $G$ with $cfc(G)=1,n-4,n-3,n-2,n-1$, respectively. Finally, we get the Nordhaus-Gaddum-type theorem for the conflict-free connection number of graphs, and prove that if $G$ and $\overline{G}$ are connected, then $4\leq cfc(G)+cfc(\overline{G})\leq n$ and $4\leq cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})\leq2(n-2)$, and moreover, $cfc(G)+cfc(\overline{G})=n$ or $cfc(G)\cdot cfc(\overline{G})=2(n-2)$ if and only if one of $G$ and $\overline{G}$ is a tree with maximum degree $n-2$ or a $P_5$, and the lower bounds are sharp.

연구 동기 및 목표

• 순서 $n$인 나무 $T$의 구조를 규명하여 $cfc(T) = n - t$가 성립하는 조건을 찾는 것 (여기서 $t \geq 1$ 이고 $n \geq 2t + 2$).
• $cfc(G) = 1, n-4, n-3, n-2, n-1$인 모든 연결 그래프 $G$를 특성화하는 것.
• 보완 그래프의 충돌 없는 연결 수에 대한 날카로운 노르다우스-가드룸 유형 부등식을 수립하는 것.

제안 방법

• 간선 색칠 패tern과 정점 차수 분석을 통해 $cfc(T) = n - t$인 나무를 특성화한다.
• 극단적 간선 색칠 접근을 사용하여 임의의 연결 그래프 $G$에 대해 $1 \leq cfc(G) \leq n-1$임을 증명한다.
• 절단 간선과 $2$-간선연결 부분그래프의 성질을 이용해 구조적 그래프 이론을 적용하여 $cfc(G)$의 경계를 설정한다.
• 레마 5.5를 적용하여 $\lambda(G) = \lambda(\u00af{G}) = 1$일 때 $G$ 또는 $\u00af{G}$ 중 적어도 하나가 $cfc = 2$임을 보여주며, 이는 합과 곱의 경계를 도출하는 데 기여한다.
• 최대 차수 $n-2$인 그래프와 $P_5$를 분석하여 등호 조건을 규명하며, 스패닝 부분그래프와 컴포넌트 분해 기법을 사용한다.
• 제안 2.11과 레마 2.6을 활용하여 알려진 cfc 값을 갖는 스패닝 부분그래프를 통해 $cfc(G)$의 경계를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순서 $n$인 나무 $T$에 대해 $t \geq 1$ 이고 $n \geq 2t + 2$일 때 $cfc(T) = n - t$가 성립하는 경우는 언제인가?
• RQ2 연결 그래프 $G$에 대해 $cfc(G) = 1$, $n-4$, $n-3$, $n-2$, $n-1$을 만족하는 정확한 특성은 무엇인가?
• RQ3 두 그래프 $G$와 $¯{G}$가 모두 연결일 때 $cfc(G) + cfc(¯{G})$와 $cfc(G) \cdot cfc(¯{G})$에 대한 가장 날카로운 상한 및 하한 경계는 무엇인가?
• RQ4 보완 그래프에 대해 $cfc(G) + cfc(¯{G}) = n$ 또는 $cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) = 2(n-2)$가 성립하는 조건은 언제인가?

주요 결과

• 임의의 연결 그래프 $G$에 대해 충돌 없는 연결 수는 $1 \leq cfc(G) \leq n-1$을 만족하며, 상한에 등호가 성립하는 것은 $G$가 별 그래프 또는 완전 그래프일 때에만 성립한다.
• cfc(G) = 1인 그래프는 정확히 별 그래프 $K_{1,n-1}$이며, cfc(G) = n-1인 그래프는 완전 그래프 $K_n$이다.
• 임의의 연결 그래프 $G$와 그 여집합 $¯{G}$에 대해 합 $cfc(G) + cfc(¯{G})$는 $4 \leq cfc(G) + cfc(¯{G}) \leq n$을 만족하고, 곱은 $4 \leq cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) \leq 2(n-2)$를 만족한다.
• 합 $cfc(G) + cfc(¯{G}) = n$이 성립하는 것은 $G$ 또는 $¯{G}$ 중 하나가 최대 차수 $n-2$인 나무이거나 $P_5$와 동형일 때에만 성립하며, 곱 $cfc(G) \cdot cfc(¯{G}) = 2(n-2)$의 경우에도 동일한 조건이 성립한다.
• 합과 곱에 대한 하한 4는 날카로우며, 각각 $G$와 $¯{G}$가 최대 차수 정점에 인접한 최대 두 개의 절단 간선을 갖는 경우에 도달된다.
• cfc(G) = n-2인 그래프의 특성화 결과, 이러한 그래프는 최대 차수 $n-2$인 나무이거나 특정 작은 그래프($K_{1,3}+e$, $K_{2,2}$, $K_{2,2}+e$, $P_5$)이지만, 여전히 연결 여집합을 갖는 것은 나무의 경우에만 성립한다.