[논문 리뷰] Nordhaus-Gaddum-type theorem for the rainbow vertex-connection number of a graph

Lily Chen, Xueliang Li외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 03. 17.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 7인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 그래프와 그 여부의 레이저 정점 연결 수(rainbow vertex-connection number, rvc)에 대한 노르다우스-가드룸 유형 부등식을 수립한다. 임의의 연결 그래프 $ G $ 와 그 여부 $ \\overline{G} $ 가 $ n \geq 5 $ 개의 정점을 가질 때, 합 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 는 $ 2 \leq rvc(G) + rvc(\overline{G}) \leq n-1 $ 을 만족하며, 이 두 경계는 $ n \geq 5 $ 에 대해 모두 날카로운 경계이다.

ABSTRACT

A vertex-colored graph $G$ is rainbow vertex-connected if any pair of distinct vertices are connected by a path whose internal vertices have distinct colors. The rainbow vertex-connection number of $G$, denoted by $rvc(G)$, is the minimum number of colors that are needed to make $G$ rainbow vertex-connected. In this paper we give a Nordhaus-Gaddum-type result of the rainbow vertex-connection number. We prove that when $G$ and $\bar{G}$ are both connected, then $2\leq rvc(G)+rvc(\bar{G})\leq n-1$. Examples are given to show that both the upper bound and the lower bound are best possible for all $n\geq 5$.

연구 동기 및 목표

• 그래프와 그 여부의 레이저 정점 연결 수의 합에 대한 날카로운 경계를 수립하기 위해.
• 색칠 수와 레이저 연결 수에 대한 노르다우스-가드룸 유형 결과를 레이저 정점 연결 수로 확장하기 위해.
• 모든 $ n \geq 5 $ 에 대해 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 의 하한 및 상한 경계가 최적임을 증명하기 위해.

제안 방법

• n에 대한 귀납법을 사용하여, 새로운 정점을 그래프에 추가하고 레이저 정점 연결 수에 미치는 영향을 분석함으로써 상한 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) \leq n-1 $ 을 증명한다.
• 레미마 1을 활용하여, $ G $ 의 적어도 $ n - rvc(G) $ 개의 정점과 인접한 정점을 추가할 경우 레이저 정점 연결 수가 증가하지 않는다는 것을 보인다.
• 기저 사례 $ n = 5 $ 를 위해 모든 가능한 연결 그래프와 그 여부를 체계적으로 분석한다.
• 특정한 그래프 가족을 구성하여 $ G $ 와 $ \overline{G} $ 가 모두 지름 2를 가지도록 하여 $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $ 을 달성함으로써 하한이 날카로운 것을 증명한다.
• 지름 $ \text{diam}(G) = 2 $ 이면 $ rvc(G) = 1 $ 이고, 완전 그래프일 때만 $ rvc(G) = 0 $ 이라는 사실을 이용하여 극단적인 예를 구성한다.
• 경계의 극단성은 경계가 달성됨을 보여주기 위해 검증한다. 경로 그래프 $ P_n $ 과 그 여부에서 $ rvc(P_n) = n-2 $, $ rvc(\overline{P_n}) = 1 $ 이므로 합은 $ n-1 $ 이 된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 그래프 $ G $ 와 $ \overline{G} $ 가 모두 연결되어 있고 $ n \geq 5 $ 일 때, 합 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 의 최적 상한은 무엇인가?
• RQ2 동일한 조건 하에서 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 의 최적 하한은 무엇인가?
• RQ3 두 경계가 $ n \geq 5 $ 에 대해 동시에 달성될 수 있는가?
• RQ4 레이저 정점 연결 수 $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $ 인 그래프의 구성이 가능한가? 이는 두 그래프가 모두 지름 2를 가짐을 의미한다.
• RQ5 새로운 정점을 추가하는 것은 그래프와 그 여부의 레이저 정점 연결 수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 연결 그래프 $ G $ 와 $ \overline{G} $ 에 대해 $ n \geq 5 $ 일 때 합 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 는 $ n-1 $ 이하로 제한되며, 이 경계는 날카로운 경계이다.
• 합 $ rvc(G) + rvc(\overline{G}) $ 는 2 이상으로 제한되며, 이 경계 역시 $ n \geq 5 $ 에 대해 날카로운 경계이다.
• $ n \geq 5 $ 일 때, $ rvc(G) = n-2 $ 이고 $ rvc(\overline{G}) = 1 $ 인 그래프 $ G $ 가 존재하며, 이는 경로 그래프 $ P_n $ 과 그 여부에서 관찰되며 상한 $ n-1 $ 을 달성한다.
• $ n \geq 5 $ 일 때, $ rvc(G) = rvc(\overline{G}) = 1 $ 인 그래프 $ G $ 가 존재하며, 이는 $ G $ 와 $ \overline{G} $ 가 모두 지름 2를 가질 때 달성되며 하한이 최적임을 증명한다.
• 상한은 귀납법과 핵심 레미마를 통해 증명되며, 이 레미마는 $ n - rvc(G) $ 개 이상의 정점과 인접한 정점을 추가해도 레이저 정점 연결 수가 유지된다는 것을 보여준다.
• 하한은 중심 정점이 두 개의 서로소 클리크에 연결된 그래프를 구성함으로써 달성되며, 이는 지름 2를 보장하고 따라서 $ G $ 와 $ \overline{G} $ 에 대해 $ rvc = 1 $ 이 된다.