[논문 리뷰] Normal class and normal lines of algebraic hypersurfaces

Alfrederic Josse, Françoise Pène|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 복소화된 사영 공간에서 대수적 초곡면의 정규 클래스를 정의하며, 일반적인 점을 통과하는 정규 선의 수로 정의된다. 정규 폴라와 쇼우베르트 기하학을 이용하여 매끄러운 초곡면의 정규 클래스에 대한 일반 공식을 유도한다: $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k $, 차수와 차원에 대한 명시적 값들을 제시하고, 교차 멱수를 통해 특이 표면으로의 확장을 다룬다.

ABSTRACT

We are interested in the normal class of an algebraic hypersurface Z of the complex projective space P^n, that is the number of normal lines to Z passing through a generic point of P^n. Thanks to the notion of normal polar, we state a formula for the normal class valid for a general hypersurface Z of P^n. We give a generic result and we illustrate our formula with examples in P^n. We define the orthogonal indidence variety and compute the Schubert class of the variety of projective normal lines to a surface of P^3 in the Show ring of G(1,3). We complete our work with a generalization of Salmon's formula for the normal class of a Plucker curve to any planar curve with any kind of singularity.

연구 동기 및 목표

• 복소화된 사영 공간 $\mathbb{P}^n$ 내 대수적 초곡면 $\mathcal{Z}$의 정규 클래스를 정의하고 계산하는 것, 즉 일반적인 점을 통과하는 정규 선의 수.
• 플루커 곡선에 대한 살라몬의 공식을 임의의 특이성을 가진 평면 곡선으로 일반화하는 것.
• 그라스만다인 $\mathbb{G}(1,n)$ 내에서 직교 성분 다양체와 쇼우베르트 기하학을 이용하여 사영 정규 선의 기하학을 연구하는 것.
• 고립된 특이점을 가진 초곡면의 정규 클래스에 대한 공식을 유도하며, 기저 점과 교차 멱수를 고려하는 것.

제안 방법

• 정규 폴라 $\mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}$ 의 개념을 도입하여, 점 $m$ 에 대해 $A$ 가 정규 선 $\mathcal{N}_m(\mathcal{Z})$ 위에 있을 때의 점의 집합으로 정의한다.
• 일반적인 점의 정규 선 $\mathcal{N}_m(\mathcal{Z})$ 를 보내는 정칙 사상 $\alpha_{\mathcal{Z}}: \mathbb{P}^n \setminus \mathcal{B}^{(0)}_{\mathcal{Z}} \to \mathbb{P}^{\frac{n(n+1)}{2}-1}$ 를 정의한다.
• 기저 구역 $\mathcal{B}_{\mathcal{Z}} = \mathcal{B}^{(0)}_{\mathcal{Z}} \cap \mathcal{Z}$ 를 특이점, $\mathcal{H}^\infty$ 와의 접촉점, 그리고 $\mathcal{Z}_\infty$ 와 우물목 $\mathcal{U}_\infty$ 의 접촉점의 합집합으로 특성화한다.
• 그라스만다인 $\mathbb{G}(1,n)$ 내에서 쇼우베르트 기하학을 사용하여 정규 선 다양체의 쇼우베르트 클래스 $\mathfrak{n}_{\mathcal{Z}}$ 를 계산한다.
• 교차 이론을 적용하여 일반적인 $A$ 에 대해 정규 클래스를 $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k - \sum_{P \in \mathcal{B}_{\mathcal{Z}}} i_P(\mathcal{Z}, \mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}) $ 로 계산한다.
• 벡터 공간 $\mathbf{V} = (\mathbf{E}_n \oplus \mathbb{R}) \otimes \mathbb{C}$ 상에서 이차형식을 통해 사영 직교성을 정의하여 $\mathbb{P}^n$ 내 선과 초평면 간의 직교성을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 매끄러운 초곡면 $\mathcal{Z} \subset \mathbb{P}^n$ 에 대해 일반적인 점을 통과하는 정규 선의 수는 얼마인가요?
• RQ2 초곡면 $\mathcal{Z}$ 가 고립된 특이점 또는 무한원 평면과 접촉할 경우 정규 클래스는 어떻게 변화합니까?
• RQ3 플루커 곡선의 정규 클래스에 대한 살라몬의 공식은 특이성을 가진 평면 곡선으로 일반화될 수 있나요?
• RQ4 $\mathbb{P}^3$ 내 표면의 사영 정규 선 다양체의 쇼우베르트 클래스는 무엇입니까?
• RQ5 $PGL(n,\mathbb{C})$ 에 대해 불변이 아닌 정규 선의 연구는 탄성 초평면의 연구와 비교해 어떤 영향을 미치나요?

주요 결과

• 매끄러운 초곡면 $\mathcal{Z} \subset \mathbb{P}^n$ 가 차수 $d_{\mathcal{Z}} \geq 2$ 이고 $\mathcal{H}^\infty$ 와 접촉이 없으며, 무한원에서 횡단 접촉을 보일 경우 정규 클래스는 $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k $ 이다.
• 이차 곡면($d_{\mathcal{Z}} = 2$)의 경우 정규 클래스는 $c_{\nu}(\mathcal{Z}) = n$ 이고, $n=2$ 일 경우 $d_{\mathcal{Z}}$ 가 된다.
• $\mathbb{P}^3$ 에서 정규 클래스는 $d_{\mathcal{Z}}^3 - d_{\mathcal{Z}}^2 + d_{\mathcal{Z}}$ 이고, $\mathbb{P}^4$ 에서는 $d_{\mathcal{Z}}^4 - 2d_{\mathcal{Z}}^3 + 2d_{\mathcal{Z}}^2$ 이다.
• $n=5$ 일 경우 정규 클래스는 $d_{\mathcal{Z}}^5 - 3d_{\mathcal{Z}}^4 + 4d_{\mathcal{Z}}^3 - 2d_{\mathcal{Z}}^2 + d_{\mathcal{Z}}$ 이다.
• 무한원 평면 $\mathcal{H}^\infty$ 를 제외한 초평면 $\mathcal{H} \subset \mathbb{P}^n$ 의 정규 클래스는 $c_{\nu}(\mathcal{H}) = 1$ 이다.
• 고립된 특이점을 가진 초곡면의 정규 클래스에 대한 일반 공식은 보정 항을 포함한다: $ c_{\nu}(\mathcal{Z}) = d_{\mathcal{Z}} \sum_{k=0}^{n-1} (d_{\mathcal{Z}}-1)^k - \sum_{P \in \mathcal{B}_{\mathcal{Z}}} i_P(\mathcal{Z}, \mathcal{P}_{A,\mathcal{Z}}) $, 여기서 $i_P$ 는 기저 점에서의 교차 멱수이다.