[논문 리뷰] Normal forms and Misiurewicz renormalization for dissipative surface diffeomorphisms

Pierre Berger|arXiv (Cornell University)|2014. 04. 08.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 펄라르-타크스의 재규합 기법과 정규형 기법을 개선하여, 작고 결정식을 가진 헨론 유사 맵을 포함한 소산성 표면 미분형사에 대해 초구형 재규합 프레임워크를 제안한다. 큰 주기 동안 균일한 경계를 확립하고, 매개변수에 의존하는 재규합된 동역학이 지수적으로 작은 $ C^r $-노름을 갖는다는 것을 증명함으로써, 헨론 맵에서 이상한 구 attraction 및 매개변수 공간 기하학의 연구가 가능해진다.

ABSTRACT

We define a hyperbolic renormalizations suitable for maps of small determinant, with uniform bounds for large periods. The techniques involve an improvement of the celebrated Palis-Takens renormalization and normal forms (fibered linearizations). These techniques are useful to study the dynamics of Hénon like maps and the geometry of their parameter space.

연구 동기 및 목표

• 소 determinant를 가진 소산성 표면 미분형사에 적합한 초구형 재규합 이론을 개발하기 위해.
• 섬유화된 선형화 및 정규형 기법을 사용하여 단일극 맵 재규합 기법을 헨론 유사 맵으로 일반화하기 위해.
• 큰 주기 동안 재규합된 동역학에 대해 균일한 $ C^r $-경계를 확립하기 위해.
• 특히 비퇴화적인 동형 접선에서 근처의 헨론 가족에서의 매개변수 영역 $ \hat{\mathcal{I}}_{b_0} $ 의 기하학을 분석하기 위해.
• 매개변수에 의존하는 재규합 맵이 지수적으로 작은 $ C^r $-노름을 갖는다는 것을 증명하여, 작은 변화에 대해 강건한 동역학 분석이 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 재규합 도메인의 이미지 내에 최대 불변 집합이 위치하도록 보장하는 $ \phi $ 를 통한 정규형 형태로의 동형을 이용하여, 헨론 유사 맵에 대한 개선된 재규합 체계를 도입한다.
• 특히 $ A_\mu $ 와 $ B_\mu $ 의 반복 과정에서의 $ C^r $-작은 성질을 제어하기 위해, 섬유화된 선형화 기법을 적용한다.
• 비율 맵 $ C_\mu^{-1}(x,y) = (\sigma_\mu^{-n}x, \sigma_\mu^{-2n}y) $ 를 사용하여 동역학을 임계점 근처의 작은 이웃으로 동형시키며, 도함수의 지수적 감쇠를 보장한다.
• 매개변수 $ a $ 에 대한 $ \sigma_\mu $, $ \lambda_\mu $, 및 $ \mu $ 의 의존성 분석을 통해 $ \partial_a A_a $ 와 $ \partial_a B_a $ 의 경계를 유도하며, $ n $ 에 대해 지수적으로 작아짐을 보인다.
• $ (\mathcal{E}_2) $ 와 $ (\mathcal{E}_3) $ 추정을 적용하여, $ A'_\mu \circ C_\mu^{-1} $ 와 $ B'_\mu \circ C_\mu^{-1} $ 에 포함된 복합 함수의 $ C^r $-노름을 제어한다.
• 매개변수 의존성 $ \mu $ 를 $ \xi^{-1}\sigma_\mu^{-2n} $ 를 통해 사용하여, $ n \to \infty $ 일 때 $ \partial_a A_a $ 와 $ \partial_a B_a $ 가 $ C^r $-지수적으로 작아짐을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 소수의 $ b_0 $ 를 가진 헨론 맵에 대해, 재규합 간격 $ \mathcal{I} $ 를 포함하는 유일한 최대 연결 성분을 갖는 매개변수 영역 $ \hat{\mathcal{I}}_{b_0} $ 는 존재하는가?
• RQ2 임의의 제곱형 가족의 재규합 간격 $ \mathcal{I} $ 를 고려할 때, 충분히 작은 $ b_0 > 0 $ 에 대해 $ \hat{\mathcal{I}}_{b_0} $ 는 닫혀 있는가?
• RQ3 특히 결정식이 작을 경우, 큰 주기 동안 재규합된 헨론 유사 맵에 대해 균일한 $ C^r $-경계를 확립할 수 있는가?
• RQ4 매개변수 $ a $ 에 대한 재규합 맵의 $ C^r $-노름은 어떤 방식으로 의존하는가? 특히 큰 재규합 주기의 극한에서 어떻게 되는가?
• RQ5 $ A_a $ 와 $ B_a $ 의 도함수의 渐近 행동은 무엇이며, 이들이 $ n $ 에 대해 지수적으로 작아짐을 보일 수 있는가?

주요 결과

• $ \partial_a A_a $ 의 $ C^0 $-노름은 $ C_\mu^{-1} $ 와 그 도함수의 지수적 감쇠로 인해 큰 $ n $ 에서 지수적으로 작아진다.
• $ \partial_a A_a $ 의 $ C^1 $-노름 역시 지수적으로 작아지며, 이는 $ \sigma_\mu^{-n} $ 에 의해 지배되며, $ n $ 에 따라 빠르게 감쇠되기 때문이다.
• $ \partial_a A_a $ 의 $ C^{r-1} $-노름은 $ A'_\mu $ 의 고차 도함수의 유계성과 $ C_\mu^{-1} $ 의 지수적 감쇠로 인해 지수적으로 작아진다.
• $ \partial_a B_a $ 의 $ C^0 $-노름은 $ \sigma_\mu^{-2n} \partial_\mu(\lambda_\mu^n \sigma_\mu^{2n}) $ 에 의해 지배되며, 이는 지수적으로 감쇠된다.
• $ B_a $ 의 $ C^r $-노름은 유계이며, 그 매개변수 의존성은 $ C^r $-지수적으로 작아서, 작은 변화에 대해 강건함을 보장한다.
• 모든 $ k < r $ 에 대해 $ \partial_a^k A_a $ 의 $ C^r $-노름은 작다. 이는 $ \partial_\mu^k \sigma_\mu^{-2n} $ 의 지수적 작아짐과 $ D^r A'_\mu $ 의 유계성 때문이기 때문이다.