[논문 리뷰] Normal Subgroup Growth of Linear Groups: the (G2; F4;E8)-Theorem

Michael Larsen, Alexander Lubotzky|arXiv (Cornell University)|2011. 08. 04.

Finite Group Theory Research참고 문헌 13인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 선형군에 대해 다항 정규부분군 성장(PNSG)이 발생하는 것은, 자라이스키 폐쇄의 반단순 부분이 $G_2$, $F_4$, 또는 $E_8$ 유형의 단순 대수군의 곱일 때에만 가능하다고 규명한다. 핵심 결과는 이러한 유형들만이 단순연결 덮개의 중심이 자명한 유일한 군이며, 그들의 $S$-산술 부분군이 다항 정규부분군 성장을 보임을 보여주며, 나머지 모든 유형은 $n^{\text{log } n}$ 또는 $n^{\text{log } n / (\text{log } \text{log } n)^2}$와 같이 훨씬 더 빠른 성장을 보임을 보여준다. 이는 중심의 순서와 체의 특성에 따라 달라진다.

ABSTRACT

Let G be a finitely generated group and M_n(G) the number of its normal subgroup subgroups of index at most n. For linear groups G we show that M_n(G) can grow polynomially in n only if the semisimple part of the Zariski closure of G has simple components only of type G2, F4 or E8 (and in this case indeed this can happened!)

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 선형군 중 다항 정규부분군 성장(PNSG)을 보이는 군을 특성화하는 것.
• 이러한 군의 자라이스키 폐쇄의 반단순 몫에 나타날 수 있는 대수적 군의 단순 대수군 유형을 규명하는 것.
• 일반적으로 PNSG가 임의의 잔여 유한군에서 가상 아벨성을 의미하지는 않음에도 불구하고, 왜 오직 $G_2$, $F_4$, $E_8$만이 PNSG를 가질 수 있는지 설명하는 것.
• 반단순 성분의 단순연결 덮개 중심에 따라 선형군의 정규부분군 성장에 대한 정확한 성장률을 설정하는 것.

제안 방법

• 유한 생성 선형군의 전문화 정리에 의해 전반적인 문제를 전역체 위의 $S$-산술 군으로 환원하는 것.
• Pink의 $S$-산술 군에 대한 강력한 근사 정리 적용을 통해 정규부분군 성장과 정규 모듈러 부분군 수를 연결하는 것.
• 군 스킴의 일반 섹션의 보편 덮개 $\tilde{\mathcal{G}}_\eta$ 를 사용하여 중심 $\mathcal{Z}(\tilde{\mathcal{G}}_\eta)$ 와 그 성장률에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 특성 $p$ 가 중심의 순서 $|\mathcal{Z}(\tilde{\mathcal{G}}_\eta)|$ 를 나누는지 여부에 따라 성장 유형을 분류하는 것.
• 만약 $\mathcal{Z}(\tilde{S}_i) \neq 1$ 이면, 정규부분군 성장이 최소 $n^{\log n / (\log \log n)^2}$ 이상임을 증명하는 것.
• 만약 $p \mid |\mathcal{Z}(\tilde{S}_i)|$ 이면, 정규부분군 성장이 정확히 $n^{\log n}$ 임을 증명하는 것.
• $G_2$, $F_4$, $E_8$ 는 단순연결형과 적응형이 일치하는 유일한 유형이며, 이는 중심이 자명하기 때문이며, 이로 인해 그들의 특별한 역할이 설명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 선형군이 다항 정규부분군 성장(PNSG)을 보이는가?
• RQ2 왜 오직 $G_2$, $F_4$, $E_8$ 만이 PNSG 선형군의 자라이스키 폐쇄의 반단순 몫에 나타나는가?
• RQ3 반단순 성분의 중심이 비자명하거나 중심의 순서가 체의 특성으로 나누어 떨어지는 선형군의 정확한 정규부분군 성장률은 무엇인가?
• RQ4 보편 덮개 중심의 구조는 $S$-산술 부분군의 정규부분군 성장에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 선형군의 정규부분군 성장률은 반단순 성분의 단순연결 덮개 중심에 의해 유일하게 결정될 수 있는가?

주요 결과

• 다항 정규부분군 성장을 보이는 유일한 선형군은 반단순 부분이 $G_2$, $F_4$, 또는 $E_8$ 유형의 단순 대수군의 곱인 군들이다.
• $G_2$, $F_4$, $E_8$ 의 $S$-산술 부분군에 대해 정규 모듈러 부분군 성장은 다항식이며, 특히 $n$ 차수이다.
• 만약 단순 성분의 단순연결 덮개 중심이 비자명하고 $p \nmid |\mathcal{Z}(\tilde{S}_i)|$ 이면, 정규부분군 성장은 최소 $n^{\log n / (\log \log n)^2}$ 이상이다.
• 만약 $p$ 가 중심의 순서 $|\mathcal{Z}(\tilde{S}_i)|$ 를 나누면, 정규부분군 성장은 정확히 $n^{\log n}$ 이다.
• 결과는 날카롭다: 다른 모든 유형의 단순 대수군은 다항식보다 더 빠른 정규부분군 성장을 보인다.
• $G_2$, $F_4$, $E_8$ 의 특별한 역할은 그들이 단순연결형과 적응형이 일치하기 때문이며, 즉 보편 덮개의 중심이 자명하기 때문이다.