[논문 리뷰] Normalisation by Evaluation for Type Theory, in Type Theory

Thorsten Altenkirch, Ambrus Kaposi|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 07.

Logic, programming, and type systems인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 몰입형 유형 이론과 증명-유형 논리적 술어를 사용하여 종속 유형 이론에 대한 정규화 평가(NBE)의 유형 이론적 공식화를 제시한다. 이는 예비 모델 이론과 논리적 관계를 통합하는 단일 유형 인덱스 가족으로서의 증명-유형 논리적 술어를 사용한다. 주요 기여는 정규화를 중립형과 정규형으로 수행함으로써 정의적 동치성의 결정 가능성을 구성적으로 증명한 것으로, Agda에서 완전한 유형 안정성과 완전성을 확보하여 형식화되었다.

ABSTRACT

We develop normalisation by evaluation (NBE) for dependent types based on presheaf categories. Our construction is formulated in the metalanguage of type theory using quotient inductive types. We use a typed presentation hence there are no preterms or realizers in our construction, and every construction respects the conversion relation. NBE for simple types uses a logical relation between the syntax and the presheaf interpretation. In our construction, we merge the presheaf interpretation and the logical relation into a proof-relevant logical predicate. We prove normalisation, completeness, stability and decidability of definitional equality. Most of the constructions were formalized in Agda.

연구 동기 및 목표

• 종속 유형 이론에 대한 정규화 평가 구축을 유형 이론 내부에서 완전히 내재화하는 것.
• 예비 모델 이론과 논리적 관계를 단일 증명-유형 논리적 술어로 통합하는 것.
• 정규형에 대한 이중 방향 접근을 통해 정의적 동치성의 결정 가능성을 확립하는 것.
• 구문을 몰입형 유형 이론으로 사용하여 Agda에서 전체 구축을 형식화하는 것.
• 모든 구성이 동치성에 따라 유지되고 전체 과정에서 유형 안정성이 유지되도록 보장하는 것.

제안 방법

• 잘못된 유형의 항을 몰입형 유형 이론(QIT)으로 정의하고, 정의적 동치성에 의해 몰입한다.
• 예비 모델 모델과 논리적 관계를 하나의 유형 인덱스 가족으로 통합한 증명-유형 논리적 술어를 구성한다.
• 논리적 술어를 정상형으로 올리는 기본 정리를 통해 정규화를 정의한다.
• 논리적 술어의 성질과 unquote 연산을 사용하여 정규화 함수의 완전성을 증명한다.
• 정규화와 함께 정규형에서의 동치성 결정을 통해 동치성의 결정 가능성을 도출한다.
• 중립형과 정규형에 대한 상호 인도를 통해 안정성과 일致성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 몰입형 유형 이론를 사용하여 종속 유형 이론에 대한 정규화 평가를 유형 이론 내부에서 완전히 내재화할 수 있는가?
• RQ2 예비 모델 이론과 논리적 관계는 어떻게 단일 증명-유형 논리적 술어로 통합될 수 있는가?
• RQ3 NBE 구축은 종속 유형 이론에서 정의적 동치성의 결정 가능성을 암시하는가?
• RQ4 형식화 과정에서 유형 안정성과 동치성 유지가 보장되는 Agda로 이 구축을 형식화할 수 있는가?
• RQ5 이중 방향 접근은 동치성의 결정 가능성을 어떻게 가능하게 하는가?

주요 결과

• 정규화 함수는 완전하다: 모든 항은 원래 항과 정의적으로 동치인 정규형으로 매핑된다.
• 정의적 동치성은 결정 가능하다. 정규형에서의 동치성은 결정 가능하고 정규화는 완전하기 때문이다.
• 구축은 안정하다: 정규형을 정규화하면 동일한 정규형이 얻어진다.
• 논리적 술어는 증명-유형이며 동치성에 따라 유지되며, 이로 인해 모든 함수는 유형 안정성을 확보한다.
• Agda에서의 형식화는 전체 구성의 정확성을 확인하였고, 완전한 유형 안정성을 보장한다.
• 중립형과 정규형에 대한 상호 인도를 통해 유형 이론의 일치성이 확립되었으며, 거짓 유형이 어떤 항의 유형이 될 수 없음을 보여준다.