[논문 리뷰] Normalization for Implied Volatility

Masaaki Fukasawa|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 30.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 4인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 유럽식 옵션의 모델에 종속되지 않는 가격 설정과 변동성 스왑 및 감마 스왑의 공정 가격 설정을 가능하게 하는 블랙-쇼스 유도된 볼라티리티에 대한 새로운 정규화 프레임워크를 제안한다. 이는 유도된 볼라티리티와 로그 마oneyness 간의 핵심 변환의 단조성 증명을 통해, 정규화된 변수에 대한 암시적이고 도함수를 포함하지 않는 명시적 공식을 유도함으로써, 시장에서 관측된 볼라티리티 표면만으로도 강력하고 아웃오브어워프리징 없는 가격 설정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We study specific nonlinear transformations of the Black-Scholes implied volatility to show remarkable properties of the volatility surface. Model-free bounds on the implied volatility skew are given. Pricing formulas for the European options which are written in terms of the implied volatility are given. In particular, we prove elegant formulas for the fair strikes of the variance swap and the gamma swap.

연구 동기 및 목표

• 암시적 볼라티리티를 이용하여 변동성 스왑과 감마 스왑의 공정 가격을 엄밀하고 모델에 종속되지 않는 공식으로 설정하는 것.
• 최소한의 아웃오브어워프리징 조건 하에서 변환 $ k \mapsto -d_2(k, \sigma(k)) $ 의 단조성을 증명하여 핵심 가격 설정 공식의 잘 정의됨을 보장하는 것.
• 기초 자산 수익률의 분포를 모델에 종속되지 않게 완전히 기술하는 데 사용되는 정규화된 함수 $ g_1 $ 과 $ g_2 $ 를 도입하는 것.
• 암시적 볼라티리티 표면에만 의존하고 수치적 도함수를 피하는 일반적인 유럽식 옵션의 가격 설정 공식을 제공하는 것.

제안 방법

• 최소한의 아웃오브어워프리징 조건 하에서 증명된 증가하는 정규화된 변환 $ f_1(k) = -d_1(k, \sigma(k)) $ 과 $ f_2(k) = -d_2(k, \sigma(k)) $ 를 도입한다.
• 역함수 $ g_1 = f_1^{-1} $ 과 $ g_2 = f_2^{-1} $ 를 유도하며, 이는 새로운 가격 설정 공식의 핵심 변수가 된다.
• 표준 정규 밀도 $ \phi(z) $ 를 기반으로 한 적분을 통해 모델에 종속되지 않는 가격 설정 공식을 수립한다. 이는 함수 $ \Psi(\log(S_T/F)) $ 의 기대값을 $ g_1(z) $, $ g_2(z) $ 와 그 도함수로 표현한다.
• 변수 변경과 확률 미분 방정식의 항등식을 활용하여 핵심 공식을 유도한다: $ \mathbb{E}[-\log(S_T/F)] = \int \sigma(g_2(z))^2 \phi(z) \, dz $ 와 $ \mathbb{E}[\log(S_T/F) \cdot S_T/F] = \int \sigma(g_1(z))^2 \phi(z) \, dz $.
• 이론을 적용하여 변동성 스왑과 감마 스왑의 공정 가격 공식을 유도하며, 이들이 일반 가격 설정 공식의 직접적인 결과임을 보여준다.
• 적분 가능성과 공식의 타당성을 보장하기 위해 모멘트 조건(예: $ \mathbb{E}[S_T^{-p}] < \infty $) 과 밀도 가정에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소한의 아웃오브어워프리징 조건 하에서 변환 $ k \mapsto -d_2(k, \sigma(k)) $ 는 엄격히 증가하는가?
• RQ2 암시적 볼라티리티 표면에서 도함수 추정 없이 변동성 스왑의 공정 가격을 직접 표현할 수 있는가?
• RQ3 암시적 볼라티리티에만 의존하고 수치적 도함수를 피하는 일반적인 유럽식 옵션의 가격 설정 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 정규화된 변수 $ g_1 $, $ g_2 $ 와 $ \log(S_T/F) $ 의 분포 사이의 기능적 관계는 무엇인가?
• RQ5 어떻게 암시적 볼라티리티 표면을 사용하여 감마 스왑의 공정 가격을 모델에 종속되지 않게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 최소한의 아웃오브어워프리징 조건 $ \mathbb{E}[S_T = F] < 1 $ 하에서 변환 $ k \mapsto -d_2(k, \sigma(k)) $ 는 엄격히 증가하며, 이는 $ f_2 $ 의 가역성과 $ g_2 $ 의 잘 정의됨을 보장한다.
• 변동성 스왑의 공정 가격은 $ \mathbb{E}[-\log(S_T/F)] = \int \sigma(g_2(z))^2 \phi(z) \, dz $ 로 주어지며, 이는 암시적 볼라티리티 표면에서 직접 계산 가능한 모델에 종속되지 않는 공식이다.
• 감마 스왑의 공정 가격을 위한 새로운 대응 공식이 도출되었으며: $ \mathbb{E}[\log(S_T/F) \cdot S_T/F] = \int \sigma(g_1(z))^2 \phi(z) \, dz $ 로서, 이는 모델에 종속되지 않고 정확한 공식임을 입증하였다.
• 분포 $ \log(S_T/F) $ 는 함수 $ g_1 $ 과 $ g_2 $ 를 통해 완전히 기술되며, 임의의 매끄러운 함수 $ \Psi $ 의 기대값은 $ \Psi(g_2(z)) $, $ \Psi'(g_2(z)) $, 그리고 $ \Psi'(g_1(z))e^{-g_1(z)} $ 를 포함하는 적분으로 표현된다.
• 암시적 볼라티리티 $ \sigma(k) $ 의 명시적 도함수를 피하기 때문에, 이 공식들은 이산적이고 노이즈가 있는 시장 데이터에 대해 강건하며, 보간을 통한 실용적 구현에 적합하다.
• 이 방법은 모델 가정이나 수치적 미분을 요구하지 않고도 정확한 옵션 가격 설정과 스왑 공정 가격 계산을 가능하게 하며, 관측된 암시적 볼라티리티 표면과 그 정규화만을 기반으로 한다.