[논문 리뷰] Normalized solutions for the fractional NLS with mass supercritical nonlinearity

Luigi Appolloni, Simone Secchi|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 30.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 20인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 질량 초임계 비선형성을 가진 분수 차 NLS에 대해 제한된 L2-노름으로 정해진 ground state 해의 존재를 보이고, 반지름 대칭 설정에서 다중성을 보이며, 질량에 따른 ground-state 에너지의 거동에 대한 자세한 특성을 제시한다.

ABSTRACT

We investigate the existence of solutions to the fractional nonlinear Schr\\"{o}dinger equation $(-\\Delta)^s u = f(u)$ with prescribed $L^2$-norm $\\int_{\\mathbb{R}^N} |u|^2 \\, dx =m$ in the Sobolev space $H^s(\\mathbb{R}^N)$. Under fairly general assumptions on the nonlinearity $f$, we prove the existence of a ground state solution and a multiplicity result in the radially symmetric case.

연구 동기 및 목표

• 고정 질량을 가진 분수 차 NLS에서 비선형성 f(u)를 갖는 바운드 스테이트 해를 연구하도록 동기를 부여한다.
• L2-구면에서의 변분 프레임워크를 개발하여 ground state와 다중성 결과를 얻는다.
• ground-state 에너지와 라그랑주 승수의 매개변수 의존성을 결정한다.
• 국소적 케이스의 알려진 전략을 비국소적 분수 설정(0<s<1)으로 확장한다.
• 대칭 가정하에 반지름 대칭 해의 다중성 결과를 제공한다.

제안 방법

• I(u)를 L2-구면 S_m과 그 Pohozaev 다면체 P_m 위에서 제약 변분 문제로 형식화한다.
• 에너지 I(u)=1/2 [u]_{H^s}^2 - ∫ F(u) dx를 정의하고 F(t)=∫_0^t f(σ)dσ, 보조 함수 tilde F(t)=f(t)t-2F(t).
• 비선형성 f에 대해 (f0)-(f6) 가정들을 고정하고 서브크리티컬 소보엘 성장과 질량 초임계성을 보장한다.
• 스케일링 (ρ*u)(x)=e^{Nρ/2}u(e^{ρ}x)와 연관 섬유 맵을 사용하여 Pohozaev 제약 P(ρ*u)=0를 위치시킨다.
• 미니 맥스/링킹 유형 변분 방법과 Brezis-Lieb 형 분할을 이용해 PS 시퀀스와 P_m에서의 수렴을 얻는다.
• ground-state 에너지 E_m의 정칙성 및 단조성 성질을 입증하고 m→0+ 및 m→∞에서의 점근성을 분석한다.
• N>2일 때 반지름 방향 컴팩트성 증명을 확장하여 무한히 많은 반지름 해를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 차 NLS에서 질량 초임계 비선형성일 때, 특정 L2-노름 m에 대해 ground-state 해가 존재하는가?
• RQ2 주어진 비선형성 가정 아래에서 양의 라그랑주 승수 μ가 ground-state 해에 대해 도출되는가?
• RQ3 주어진 질량 m에 대해 ground-state 에너지 E_m가 어떻게 거동하는가(연속성, 단조성, 점근성)?
• RQ4 각 m>0에 대해 반지름 대칭 해의 중복성이 존재하는가?
• RQ5 Pohozaev형 제약 및 섬유 맵 기법을 로컬에서 비로컬(분수) NLS로 어느 정도까지 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 가정 (f0)-(f5) 하에서 임의의 m>0에 대해 양의 ground state가 존재한다.
• 모든 ground state에 대해 관련된 라그랑주 승수 μ는 양수이다.
• ground-state 에너지 E_m은 양수이고 연속적이며 m에 대해 엄격하게 감소하며, m→0+에서 E_m → ∞이고 m→∞에서 E_m → 0이다.
• N>2일 때 어떤 m>0에 대해서도 무한히 많은 반지름 해가 존재하며, I(u_k)→∞ as k→∞.
• 논문은 변분 프레임워크와 섬유 맵을 개발하여 P_m 위의 제약 임계점 시스템을 도출하고 PS 시퀀스를 얻는다.
• 결과는 로컬 케이스(s=1)의 알려진 전략들을 비로컬 분수 설정(0<s<1)으로 확장한다.