[논문 리뷰] Normalized solutions to the mixed dispersion nonlinear Schr\\"odinger equation in the mass critical and supercritical regime

Denis Bonheure, Jean‐Baptiste Casteras외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 26.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 54인용 수 79

한 줄 요약

논문은 질량 제약 하에서 혼합 분산 NLS의 정규화된(질량 제약) 해의 존재성, 다중성, 안정성에 초점을 맞추고, 질량 임계 및 질량 초임계 영역에서 Ground states, 반지름 해, 농도 집중, 역학을 분석한다.

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of solutions to the mixed dispersion nonlinear Schr\\"odinger equation $$ \\gamma \\Delta ^2 u -\\Delta u + \\alpha u=|u|^{2 \\sigma} u, \\quad u \\in H^2(\\R^N), $$ under the constraint $$ \\int_{\\R^N}|u|^2 \\, dx =c>0. $$ We assume $\\gamma >0, N \\geq 1, 4 \\leq \\sigma N < \\frac{4N}{(N-4)^+}$, whereas the parameter $\\alpha \\in \\R$ will appear as a Lagrange multiplier. Given $c \\in \\R^+$, we consider several questions including the existence of ground states, of positive solutions and the multiplicity of radial solutions. We also discuss the stability of the standing waves of the associated dispersive equation.

연구 동기 및 목표

• γ > 0 하에서 혼합 분산 NLS에 대한 질량 제약화된(normalized) 해의 존재를 연구하고, Ground states 및 다중성을 확인한다
• 라그랑주 승수 α와 제약 집합 M(c)가 제약된 임계점을 얻는 데 어떤 역할을 하는지 분석한다
• 질량 c가 달라질 때 ground states, radial solutions, concentration 현상 및 standing waves의 안정/불안정성을 포함하여 동역학을 연구한다

제안 방법

• 에너지 함수 E(u)를 S(c) 위에서 이용하여 ∫|u|^2 = c인 조건 아래 γ Δ^2 u - Δu + αu = |u|^{2σ}u라는 타원 방정식을 분석한다
• Q(u)로 Derrick-Pohozaev 형태의 항등식을 갖는 제약 매니폴드 M(c) = {u ∈ S(c) : Q(u) = 0}를 정의한다
• E가 M(c)에서 coercivity와 아래 한계로부터의 경계성(유계성)을 보이고 최소값 Γ(c)와 c의 구간에서 ground states를 얻는다(c0, cN,σ)
• 레벨 Γ(c)에서 S(c) 위에 Palais–Smale 수열의 존재를 보이고 α_c > 0인 ground state u_c로의 강한 수렴을 도출한다
• 농도-콤팩트성 및 genus 이론을 적용하여 4 < σN < 4*일 때 무한히 많은 radial 해를 얻고, σN = 4인 경우에 대해서도 결과를 얻으며, radial ground states 및 부호변화 해를 포함한다
• 분산 방정식에 대한 안정성 결과를 증명하고 radial ground state의 blow-up에 의한 불안정성을 보인다

실험 결과

연구 질문

• RQ1 질량 제약 ∫|u|^2 = c ( c0 < c < cN,σ ) 하에서 γ Δ^2 u - Δu + αu = |u|^{2σ}u의 ground state 해가 존재하는가?
• RQ2 질량 제약 문제에 대해 변분 방법으로 무한히 많은 radial 해를 얻을 수 있는가, 그리고 지수 σN이 이 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 질량 임계 사례에서 질량 c가 임계 질량 cN*에 접근할 때의 ground state의 거동(집적 현상)은 무엇인가?
• RQ4 time-dependent mixed dispersion NLS 아래에서 ground state와 연관된 standing wave가 안정한가 불안정한가, 어떤 영역에서인가?
• RQ5 제약된 최소해의 양수성, 부호 변경 성질 및 대칭성에 라그랑주 승수 α의 존재가 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 질량 임계인 σN = 4의 경우, m(c) = 0인 0 < c ≤ cN* 와 m(c) = -∞인 c > cN* 을 갖는 cN* > 0 이 존재하고, c ≤ cN*일 때 S(c) 위에 비자명해가 존재하지 않는다.
• c0 < c < cN,σ 인 구간에서 (Pc)가 ground state u_c를 가지며 E(u_c) = Γ(c) 및 α_c > 0를 만족한다
• 4 < σN < 4* 이고 N ≥ 2일 때 (Pc)는 (0, cN,σ)에서 무한히 많은 radial 해를 가지며, 질량 임계 사례(σN = 4)에서는 특정 차원에서 충분히 큰 c에 대해 무한히 많은 radial 해가 존재한다.
• 차원 N = 3 또는 4일 때 σN ≥ 4인 경우 어떤 c > c0에 대해서도 radial ground states가 존재하며 양의 라그랑주 승수를 갖고, 주어진 c에 대해 부호를 바꾸는 radial ground states가 발생할 수 있다.
• 분산 방정식에 대해 질량 제약 하에서 4 ≤ σN < 4*일 때 radial ground states는 blowing-up에 의해 불안정하며(유한 또는 무한 시간), α가 고정되면 질량 초/아래 임계 영역에서도 유사한 불안정성이 성립한다.