[논문 리뷰] Normalizer Circuits and Quantum Computation

Juan Bermejo-Vega|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 238인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨 군 또는 하이퍼군 위에서 정규화자 회로 형식을 도입하며, 이는 클리포드 게이트를 양자 푸리에 변환(QFT), 자동형사상 게이트, 이차 위상 게이트로 확장하는 통합된 프레임워크이다. 정규화자 회로가 쇼어의 알고리즘과 아벨 숨겨진 하위군 문제(HSP)를 포괄하며, 고전적 시뮬레이션 기법을 제공하고, 양자 알고리즘과 안정자 코드 사이의 깊은 대수적 연결을 밝혀내어 효율적으로 시뮬레이션 가능한 새로운 양자 시스템의 클래스와 숨겨진 가환 하이퍼구조에 대한 지수적 속도 향상 알고리즘을 밝혀낸다.

ABSTRACT

(Abridged abstract.) In this thesis we introduce new models of quantum computation to study the emergence of quantum speed-up in quantum computer algorithms. Our first contribution is a formalism of restricted quantum operations, named normalizer circuit formalism, based on algebraic extensions of the qubit Clifford gates (CNOT, Hadamard and $π/4$-phase gates): a normalizer circuit consists of quantum Fourier transforms (QFTs), automorphism gates and quadratic phase gates associated to a set $G$, which is either an abelian group or abelian hypergroup. Though Clifford circuits are efficiently classically simulable, we show that normalizer circuit models encompass Shor's celebrated factoring algorithm and the quantum algorithms for abelian Hidden Subgroup Problems. We develop classical-simulation techniques to characterize under which scenarios normalizer circuits provide quantum speed-ups. Finally, we devise new quantum algorithms for finding hidden hyperstructures. The results offer new insights into the source of quantum speed-ups for several algebraic problems. Our second contribution is an algebraic (group- and hypergroup-theoretic) framework for describing quantum many-body states and classically simulating quantum circuits. Our framework extends Gottesman's Pauli Stabilizer Formalism (PSF), wherein quantum states are written as joint eigenspaces of stabilizer groups of commuting Pauli operators: while the PSF is valid for qubit/qudit systems, our formalism can be applied to discrete- and continuous-variable systems, hybrid settings, and anyonic systems. These results enlarge the known families of quantum processes that can be efficiently classically simulated. This thesis also establishes a precise connection between Shor's quantum algorithm and the stabilizer formalism, revealing a common mathematical structure in several quantum speed-ups and error-correcting codes.

연구 동기 및 목표

• QFT와 같은 강력한 게이트를 포함하는 안정자 형식과 클리포드 게이트를 일반화하는 새로운 양자 계산 형식을 개발하는 것.
• 정규화자 회로의 계산 능력을 규명하고, 언제 양자 속도 향상이 발생하는지 또는 고전적으로 시뮬레이션 가능한지 판단하는 것.
• 군 이론과 하이퍼군 이론을 활용해 고트스만의 안정자 형식을 연속 변수, 하이브리드, anyonic 시스템으로 확장하는 것.
• 양자 알고리즘과 양자 오류 수정 코드를 통합하는 대수적 구조를 밝혀내며, 특히 쇼어의 알고리즘과 안정자 코드 간의 연결 고리를 밝혀내는 것.
• 표준 아벨 푸리에 샘플링을 통한 양자 속도 향상의 새로운 발견을 위한 새로운 금지 정리(no-go theorems)를 유도하고, 숨겨진 가환 하이퍼구조에 대한 지수적 속도 향상 알고리즘을 설계하는 것.

제안 방법

• 아벨 군 또는 하이퍼군 G와 관련된 양자 푸리에 변환(QFT), 자동형사상 게이트, 이차 위상 게이트를 사용하여 정규화자 회로 형식을 제안한다.
• 정규화자 게이트를 정의하며, 이는 G 위의 헤이젠베르크 군의 구조를 유지하는 유니터리 연산자로, 위상공간 작용은 심플렉틱 행렬로 기술된다.
• 연속 군(예: $\mathbb{R}^m$) 위에서 자동형사상 게이트의 유니터리성을 확보하기 위해 정규화 인자 $1/\sqrt{\mathrm{mod}\,\alpha}$ 를 도입하며, 이는 하어 측도와 변수변환 공식에서 유도된다.
• 군 이론과 하이퍼군 이론을 적용하여 파울리 연산자 외의 안정자 군을 일반화함으로써, 비단항성 및 비유니터리 안정자를 기술할 수 있도록 한다.
• 일반화된 고트스만-크닐 정리에 기반한 고전적 시뮬레이션 기법을 사용하여 정규화자 회로가 언제 양자 우위를 제공하는지 또는 제공하지 않는지 분석한다.
• 가우시안 게이트(예: 스위저 $S(r)$, 빔 스플리터 $U_{BS}$)를 사용하여 명시적인 회로를 구성하고, 이들이 파울리 보정을 제외한 정규화자 게이트로 분해될 수 있음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쇼어의 알고리즘과 기타 아벨 숨겨진 하위군 문제에서 발생하는 양자 속도 향상의 배경이 되는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ2 안정자 형식은 큐비트와 큐디트를 넘어서 연속 변수 및 하이브리드 양자 시스템으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 언제 정규화자 회로가 양자 우위를 제공하고, 언제는 고전적으로 시뮬레이션 가능한가?
• RQ4 표준 푸리에 샘플링 기법을 초월하여 새로운 지수적 속도 향상 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 지역적으로 컴act한 아벨 군 위에서 자동형사상 게이트의 유니터리성을 보장하는 데 모듈로 함수 $\mathrm{mod}\,\alpha$ 의 역할은 무엇인가?

주요 결과

• 정규화자 회로 형식은 클리포드 군을 아벨 군 및 하이퍼군 위의 QFT와 자동형사상 게이트로 일반화하며, 쇼어의 알고리즘과 아벨 HSP 알고리즘을 포괄한다.
• 이 프레임워크는 고트스만-크닐 정리를 연속적, 무한, 하이브리드 시스템으로 확장하여 더 넓은 범위의 양자 회로에 대한 고전적 시뮬레이션을 가능하게 한다.
• 연속 군(예: $\mathbb{R}^m$) 위에서 자동형사상 게이트의 유니터리성을 확보하기 위해 정규화 인자 $1/\sqrt{\mathrm{mod}\,\alpha}$ 가 필요하며, 이는 하어 측도와 변수변환 공식에서 유도된다.
• 논문은 표준 아벨 푸리에 샘플링을 통한 새로운 양자 속도 향상 발견을 위한 금지 정리를 증명하며, 이러한 기법이 새로운 지수적 속도 향상 알고리즘을 위한 것으로 부족하다는 것을 보여준다.
• 숨겨진 가환 하이퍼구조를 찾는 데 지수적 속도 향상을 제공하는 새로운 양자 알고리즘을 설계하였으며, 이는 형식의 강력함이 표준 HSP를 초월함을 보여준다.
• 쇼어의 알고리즘과 안정자 형식 사이에 정밀한 대수적 연결을 확립하였으며, 양자 알고리즘과 오류 수정 코드 간의 통합 수학적 구조를 드러냈다.