[논문 리뷰] Normalizer of the Chevalley group of type $E_7$

A. Yu. Luzgarev, N. A. Vavilov|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 14.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가환환 $ R $ 위에서, 기본 칼레비 그룹 $ E(\text{E}_7, R) $의 정규화군, 단순 연결 칼레비 그룹 $ G(\text{E}_7, R) $의 정규화군, $ E(\text{E}_7, R) $에서 $ G(\text{E}_7, R) $로의 이행군, 그리고 확장 칼레비 그룹 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $가 모두 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 일치함을 증명한다. 확장된 그룹은 133개의 이次형식의 집합의 안정자로 기술되며, 이 결과는 $ \mathbb{Z} $ 위에서도 성립하여 해당 군 스킴의 매끄러움을 확인한다.

ABSTRACT

We consider the simply connected Chevalley group $G(E_7,R)$ of type $E_7$ in the 56-dimensional representation. The main objective of the paper is to prove that the following four groups coincide: the normalizer of the elementary Chevalley group $E(E_7,R)$, the normalizer of the Chevalley group $G(E_7,R)$ itself, the transporter of $E(E_7,R)$ into $G(\mathrm E_7,R)$, and the extended Chevalley group $\overline G(E_7,R)$. This holds over an arbitrary commutative ring $R$, with all normalizers and transporters being calculated in $GL(56,R)$. Moreover, we characterize $\overline G(E_7,R)$ as the stabilizer of a system of quadrics. This last result is classically known over algebraically closed fields, here we prove that the corresponding group scheme is smooth over $\mathbb Z$, which implies that it holds over arbitrary commutative rings. These results are one of the key steps in our subsequent paper, dedicated to the overgroups of exceptional groups in minimal representations.

연구 동기 및 목표

• 임의의 가환환 $ R $에 대해 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 기본 칼레비 그룹 $ E(\text{E}_7, R) $의 정규화군을 결정하는 것.
• 이 정규화군이 $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 단순 연결 칼레비 그룹 $ G(\text{E}_7, R) $의 정규화군과 일치함을 보이는 것.
• $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 $ E(\text{E}_7, R) $에서 $ G(\text{E}_7, R) $로의 이행군이 확장 칼레비 그룹 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $와 같음을 증명하는 것.
• 56차원 최소 표현에서 133개의 이차형식의 집합의 안정자로서 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $의 명시적 기하적 기술을 제공하는 것.
• 군 스킴 $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $가 $ \mathbb{Z} $ 위에서 매끄럽다는 것을 확립하여 기하적 기술이 임의의 가환환으로까지 확장됨을 보장하는 것.

제안 방법

• 133개의 이차형식 $ f_1, \dots, f_{133} $로 생성된 이상 $ I \subset \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $를 구성하고, 이형식 집합의 안정자 $ G_I(R) $를 정의하는 것.
• 스킴 이론적 추론과 $ \mathrm{E}_8 $에서 알려진 구성 방법을 사용하여, $ \mathbb{Z} $ 위에서 아핀 군 스킴 $ G_I $가 확장된 단순 연결 칼레비 군 스킴 $ \overline{G}_{\text{sc}}(\text{E}_7, -) $와 동형임을 증명하는 것.
• 기존에 알려진 $ G_{\text{sc}}(\text{E}_7, R) $에 의한 네차수 선형형식 $ f $와 심플렉틱형식 $ h $의 불변성에 기반하여, 이들의 두 번째 편도함수를 이용해 133개의 이차형식을 생성하는 것.
• 선형변환 $ g $가 $ f $를 스칼라 배수로, $ h $를 제곱 스칼라 배수로 보존하는 군 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $를 정의하고, 이것이 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $와 일치함을 증명하는 것.
• 확장된 칼레비 그룹이 교환자부분군과 단순형 원소들에 의해 생성됨을 이용하여, 변환 법칙에서의 보정항 $ c_2, c_3, c_4 $가 항등적으로 0이 됨을 보이는 것.
• 논문 [25]의 주요 결과를 응용하여, $ E(\text{E}_7, R) $에 의해 네차수 선형형식이 불변임을 보이고, 이에 따라 공액화에 의해 형식을 보존하는 임의의 $ g $는 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $에 속함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 가환환 $ R $에 대해, $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 $ E(\text{E}_7, R) $의 정규화군, $ G(\text{E}_7, R) $의 정규화군, $ E(\text{E}_7, R) $에서 $ G(\text{E}_7, R) $로의 이행군, 그리고 확장 칼레비 그룹 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $가 모두 일치하는가?
• RQ2 확장 칼레비 그룹 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $는 56차원 최소 표현에서 이차형식의 집합의 안정자로 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ3 군 스킴 $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $가 $ \mathbb{Z} $ 위에서 매끄럽다고 할 수 있는가? 이는 기하적 정의가 임의의 가환환으로까지 확장됨을 의미한다.
• RQ4 정규화군을 갖는 $ g \in \mathrm{GL}(56, R) $에 대한 정확한 변환 법칙은 무엇이며, 네차수 선형형식의 보정항 $ c_2, c_3, c_4 $를 제거할 수 있는가?
• RQ5 $ E(\text{E}_7, R) $에 의해 네차수 선형형식 $ f $와 심플렉틱형식 $ h $가 스칼라 배수로 보존된다면, 이러한 $ g $는 반드시 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $에 속하는가?

주요 결과

• $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 $ E(\text{E}_7, R) $의 정규화군은 $ G(\text{E}_7, R) $의 정규화군과 일치하며, 이 둘은 임의의 가환환 $ R $에 대해 확장 칼레비 그룹 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $와 일치한다.
• 확장 칼레비 그룹 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $는 $ \mathbb{Z}[x_1, \dots, x_{56}] $ 내에서 133개의 이차형식으로 생성된 이상의 안정자와 동형이므로, 군 스킴의 기하적 기술이 확립된다.
• 군 스킴 $ \overline{G}(\text{E}_7, -) $는 $ \mathbb{Z} $ 위에서 매끄럽다. 이는 기하적 기술이 임의의 가환환으로까지 성립함을 보장한다.
• $ \mathrm{GL}(56, R) $ 내에서 $ E(\text{E}_7, R) $에서 $ G(\text{E}_7, R) $로의 이행군은 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $에 포함되며, 등호가 성립함을 확인하여 정규화군의 일치를 확인한다.
• 변환 법칙에서 $ g \in \overline{G}(\text{E}_7, R) $에 대해 $ f(gu,gv,gw,gz) = \varepsilon f(u,v,w,z) $ 및 $ h(gu,gv) = \varepsilon^2 h(u,v) $를 만족하며, $ \varepsilon \in R^* $ 이고, 보정항 $ c_2, c_3, c_4 $가 존재하지 않음을 레이마 10에서 보였다.
• 네차수 선형형식 $ f $와 심플렉틱형식 $ h $는 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $에 의해 스칼라 배수로 보존되며, 이 불변성에 의해 정의된 군 $ \overline{G}_{(f,h)}(R) $는 $ \overline{G}(\text{E}_7, R) $와 일치한다. 이는 정리 2에서 확인되었다.