[논문 리뷰] Note on Counting Eulerian Circuits

Graham Brightwell, Peter Winkler|ArXiv.org|2004. 05. 18.

Markov Chains and Monte Carlo MethodsMathematics참고 문헌 13인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 다중 그래프에서 오르빗(오리엔테이션과 아보레센스를 가진 올레라운드 오리엔테이션)을 세는 것으로부터, 소수 모듈로와 중국인의 나머지 정리를 사용한 모듈로 수세기 기반으로, 비방향 그래프에서 올레라운드 서클 수를 세는 것이 #P-완전함을 증명한다. 이는 올레라운드 오리엔테이션 수를 효율적으로 계산할 수 있는 오рак루를 가질 경우, 올레라운드 오리엔테이션 수를 정확히 복원할 수 있음을 보여주며, 이로써 올레라운드 서클 수를 세는 것이 #P-완전함을 입증한다.

ABSTRACT

We show that the problem of counting the number of Eulerian circuits in an undirected graph is complete for the class #P.

연구 동기 및 목표

• 비방향 그래프에서 올레라운드 서클 수를 세는 것이 #P-완전한지 여부를 오랫동안 열려있던 복잡도 문제로 해결하기 위해.
• 올레라운드 서클 수를 세는 것과 올레라운드 오리엔테이션 수를 세는 #P-하드 문제 사이의 연결 고리를 확립하기 위해.
• 오르빗(아보레센스를 가진 올레라운드 오리엔테이션)을 세는 오라클이 소수 모듈로에서 올레라운드 오리엔테이션 수를 효율적으로 계산할 수 있음을 보여주기 위해.
• 모듈로 수세기와 중국인의 나머지 정리를 사용하여, 모듈로 수세기로부터 올레라운드 오리엔테이션 수의 정확한 값을 복원하기 위해.
• 이러한 감소 기법이 올레라운드 오리엔테이션 수를 세는 것 외에도, not-all-equal 3-SAT 수를 세는 것과 같은 다른 #P-완전 문제로 확장 가능함을 보여주기 위해.

제안 방법

• 주어진 비방향 그래프 $G$ 에서 각 간선을 $p$ 개의 평행 간선으로 대체하고, 원래의 모든 정점과 두 개의 평행 간선으로 연결된 새로운 루트 정점을 추가하여 다중 그래프 $G_p$ 를 구성한다.
• 오르빗을 새로운 정점에서 루트를 가진 아보레센스와 함께 올레라운드 오리엔테이션의 쌍으로 정의하며, 이는 $\prod (d_v - 1)!$ 의 요소만큼의 요소로 유일한 올레라운드 서클에 대응한다.
• 타입 $\tau$ 에 따라 오르빗을 분류하며, $\tau(e) = (k, X)$ 는 $p$ 개의 평행 간선 중에서 낮은 정점에서 높은 정점으로 향하는 갯수와 어떤 것이 트리 간선인지 여부를 나타낸다.
• 특수하지 않은 타입(즉, $k \notin \{0,p\}$ 이거나 $X = T$ 인 경우)은 $p$ 로 나누어 떨어지는 수를 기여하므로, 모듈로 $p$ 에서는 기여하지 않으며, 오직 특수 타입(즉, $k \in \{0,p\}$ 이고 $X = F$ 인 경우)만 기여한다.
• 특수 타입 오르빗의 수가 정확히 $2^n \times N$ 이며, 여기서 $N$ 은 원래 그래프 $G$ 의 올레라운드 오리엔테이션 수이므로, $N \mod p$ 는 복원 가능하다.
• 모든 소수 $p$ 에 대해 이 과정을 반복하고, $m = |E|$ 인 구간 $[m, 2m]$ 에서 중국인의 나머지 정리를 적용하여 $N$ 의 정확한 값을 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비방향 그래프에서 올레라운드 서클 수를 세는 것은 #P-완전한가?
• RQ2 다중 그래프에서 오르빗 수를 세는 오라클을 사용하여 그래프의 올레라운드 오리엔테이션 수를 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 소수 모듈로를 사용한 모듈로 수세기와 중국인의 나머지 정리를 통해 올레라운드 오리엔테이션 수의 정확한 값을 복원할 수 있는가?
• RQ4 올레라운드 오리엔테이션 수를 세는 데 사용된 감소 기법을 not-all-equal 3-SAT 수를 세는 것과 같은 다른 #P-완전 문제로 확장할 수 있는가?
• RQ5 올레라운드 오리엔테이션 수를 세는 데 대해 완전 다항 시간 무작위 근사 스킴(fpras)이 존재하는가? 그리고 오르빗 위의 마르코프 체인이 빠르게 혼합하는가?

주요 결과

• 비방향 그래프에서 올레라운드 서클 수를 세는 것은 #P-완전함을 증명하여 25년간 열려있던 문제를 해결하였다.
• 구성된 다중 그래프 $G_p$ 에서 특수 타입 오르빗의 수는 정확히 $2^n \times N$ 이며, 여기서 $N$ 은 원래 그래프 $G$ 의 올레라운드 오리엔테이션 수이다.
• 모든 소수 $p$ 에 대해 $[m, 2m]$ 에서 $m = |E|$ 를 만족할 경우, $G_p$ 에서의 오르빗 수는 $2^n \times N \mod p$ 와 합동이며, 이는 $N$ 의 모듈로 계산을 가능하게 한다.
• 비특수 타입 오르빗의 수는 $p$ 로 나누어 떨어지므로, 모듈로 $p$ 에서의 기여는 사라지며, 이는 오직 특수 타입만 모듈로 계산에 영향을 준다.
• 모든 소수 $[m, 2m]$ 에 대해 모듈로 계산을 반복하고 중국인의 나머지 정리를 적용함으로써, $N$ 의 정확한 값을 복원할 수 있다.
• 동일한 감소 기법은 not-all-equal 3-SAT 수를 세는 데에도 적용 가능하며, 이는 이 문제 역시 올레라운드 오리엔테이션 수를 세는 문제로의 감소를 통해 #P-완전함을 보여준다.