[논문 리뷰] Note on edge-colored graphs and digraphs without properly colored cycles

Gregory Gutin|ArXiv.org|2007. 07. 31.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 최소 단색 차수 d ≥ 1인 모든 c-edge-colored 무방향 그래프가 적절히 색칠된 사이클을 포함해야 한다는 추측을 반증한다. 구체적으로, 임의로 높은 단색 차수를 가지며 적절히 색칠된 사이클을 포함하지 않는 재귀적 c-edge-colored 그래프를 구성함으로써 이를 입증한다. 주요 기여는 고정된 c ≥ 2에 대해 함수 d(n,c)와 d̲(n,c)에 대해 엄밀한 Θ(log n) 경계를 확립한 것으로, 이들이 n에 대해 로그적으로 증가함을 보여준다.

ABSTRACT

We study the following two functions: d(n,c) and $\vec{d}(n,c)$; d(n,c) ($\vec{d}(n,c)$) is the minimum number k such that every c-edge-colored undirected (directed) graph of order n and minimum monochromatic degree (out-degree) at least k has a properly colored cycle. Abouelaoualim et al. (2007) stated a conjecture which implies that d(n,c)=1. Using a recursive construction of c-edge-colored graphs with minimum monochromatic degree p and without properly colored cycles, we show that $d(n,c)\ge {1 \over c}(\log_cn -\log_c\log_cn)$ and, thus, the conjecture does not hold. In particular, this inequality significantly improves a lower bound on $\vec{d}(n,2)$ obtained by Gutin, Sudakov and Yeo in 1998.

연구 동기 및 목표

• Abouelaoualim 등(2007)이 제기한 추측을 반증하는 것: 최소 단색 차수 d ≥ 1인 모든 c-edge-colored 무방향 그래프는 적절히 색칠된 사이클을 포함해야 한다는 주장.
• d(n,c)의 정확한 점근적 성장률을 규명하는 것: 순서 n이고 최소 단색 차수 ≥ k인 모든 c-edge-colored 무방향 그래프가 적절히 색칠된 사이클을 포함하는 최소 k 값.
• 지향 그래프의 동반 개념인 d̲(n,c)을 분석하는 것: 순서 n이고 최소 단색 출발 차수 ≥ k인 모든 c-edge-colored 지향 그래프가 적절히 색칠된 사이클을 포함하는 최소 k 값.
• Gutin, Sudakov, 그리고 Yeo(1998)가 제시한 d̲(n,2)의 하한을 초월하는 개선된 하한을 도출하는 것.
• 모든 고정된 c ≥ 2에 대해 d(n,c)와 d̲(n,c)에 대해 엄밀한 점근적 Θ(log n) 경계를 확립하는 것.

제안 방법

• 각 정점이 색 i에 해당하는 하위 그래프 G(p₁, ..., p_c)의 p_i − 1개 정점들과 색 i의 간선으로 연결되는 재귀적 c-edge-colored 그래프 G(p₁, p₂, ..., p_c)를 구성함. 초기 상태는 단일 정점으로 시작함.
• 합 s = p₁ + ... + p_c에 대한 귀납법을 사용하여, G(p₁, ..., p_c)가 적절히 색칠된 사이클을 포함하지 않으며 최소 단색 차수가 min{p_i}임을 증명함.
• 재귀적 합과 귀납법을 활용하여, s > 0일 때 순서 n(p₁, ..., p_c) ≤ s·2^s임을 유도함.
• p₁ = ... = p_c = p인 대칭적 경우에 적용하여, n_c(p) ≤ cp·c^{cp}임을 도출하고, 이로부터 n에 대한 p의 하한을 유도함.
• δ_mon ≥ d 이며 적절히 색칠된 사이클을 포함하지 않는 그래프의 존재성을 보여 d(n,c) ≥ (1/c)(log_c n − log_c log_c n)임을 증명함.
• 색깔을 융합하여 c-edge-colored 지향 그래프를 2-edge-colored 지향 그래프로 환원함으로써, d̲(n,c)에 대한 상한을 log₂n에 대한 함수로 유도함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최소 단색 차수 d ≥ 1인 모든 c-edge-colored 무방향 그래프는 반드시 적절히 색칠된 사이클을 포함하는가?
• RQ2 순서 n이고 최소 단색 차수 ≥ k인 모든 c-edge-colored 무방향 그래프가 적절히 색칠된 사이클을 포함하는 최소 k = d(n,c)는 얼마인가?
• RQ3 순서 n이고 최소 단색 출발 차수 ≥ k인 모든 c-edge-colored 지향 그래프가 적절히 색칠된 사이클을 포함하는 최소 k = d̲(n,c)는 얼마인가?
• RQ4 Gutin, Sudakov, 그리고 Yeo(1998)가 제시한 (1/4)log₂n + (1/8)log₂log₂n + Θ(1)의 하한을 초월하여 d̲(n,2)의 하한을 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 모든 고정된 c ≥ 2에 대해 d(n,c)와 d̲(n,c)는 점근적으로 Θ(log n)인가?

주요 결과

• Abouelaoualim 등(2007)의 추측은 잘못되었으며, 임의로 높은 최소 단색 차수를 가지며 적절히 색칠된 사이클을 포함하지 않는 c-edge-colored 그래프가 존재함을 입증함.
• 적절히 색칠된 사이클을 포함하지 않으며 최소 단색 차수가 min{p_i}인 c-edge-colored 그래프 G(p₁, ..., p_c)의 재귀적 구성법을 확립함.
• d(n,c) ≥ (1/c)(log_c n − log_c log_c n)임을 증명함으로써, 이는 d̲(n,2)에 대한 이전 하한보다 크게 향상된 하한임을 보임.
• d̲(n,2) ≥ (1/2)(log₂n − log₂log₂n)임을 도출함으로써, Gutin, Sudakov, 그리고 Yeo(1998)의 (1/4)log₂n 하한을 초월함.
• 모든 고정된 c ≥ 2에 대해 d(n,c) = Θ(log n) 및 d̲(n,c) = Θ(log n)임을 보여, 엄밀한 점근적 성장률을 규명함.
• c-edge-colored 지향 그래프를 2-edge-colored 그래프로 환원함으로써, d̲(n,c) ≤ (1/⌊c/2⌋)(log₂n − (1/3)log₂log₂n + Θ(1))임을 유도함.