[논문 리뷰] Note on Pontryagin maximum principle with running state constraints and smooth dynamics -- Proof based on the Ekeland variational principle

Loïc Bourdin|arXiv (Cornell University)|2016. 04. 14.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 15인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 매끄러운 동역학과 실행 중인 상태 제약 조건을 가진 최적 제어 문제에 대해 포트리아진 최대원리의 완전하고 세부적인 증명을 제공한다. 핵심 분석 도구로 에클랜드 변분 원리를 사용한다. 주요 기여는 표준적인 매끄러움과 정규성 조건 하에서, 후방 카우시-스틸티지 문제를 통해 정의된 쌍대 벡터와 해밀토니안에 대한 최대 조건을 포함한 필요 최적성 조건을 엄밀하게 유도하는 것이다.

ABSTRACT

In this note our aim is to give a proof of the Pontryagin maximum principle for a general optimal control problem with running state constraints and smooth dynamics. Our proof is based on the classical Ekeland variational principle. The main result (and its proof) of this note are not new and are already well-known in the literature. The aim of the author is only to provide a complete and detailed proof of this classical theorem in the case of smooth dynamics. If you have any remarks or questions, do not hesitate to contact the author at [e-mail].

연구 동기 및 목표

• 실행 중인 상태 제약 조건과 매끄러운 동역학을 가진 최적 제어 문제에 대해 포트리아진 최대원리의 자가 포함된 세부적인 증명을 제공하는 것.
• 에클랜드 변분 원리를 사용하여 필요 최적성 조건—특히 해밀토니안에 대한 최대 조건과 쌍대 방정식—을 확립하는 것.
• 활성 상태 제약 조건과 관련된 쌍대 벡터와 측도 값의 승수의 역할을 명확히 하는 것.
• 최적 제어 문제에서 스틸티지 적분과 유계 변동 함수의 사용을 체계화하는 것.
• 연구자들과 학도들이 접근할 수 있도록 명료성과 완전성을 강조한 증명을 제시하는 것. 비록 결과가 고전적이지만 말이다.

제안 방법

• 증명은 적절한 함수 공간 설정에서 최적 제어 문제에 에클랜드 변분 원리를 적용하는 데 기반한다.
• 유계 함수 공간 위에서의 고정점 원리를 사용하여 정방향 및 역방향 카우시-스틸티지 문제의 해의 존재성과 유일성을 확립한다.
• 쌍대 벡터 $ p $ 는 해밀토니안과 상태 제약 조건의 편도함수를 포함하는 후방 선형 카우시-스틸티지 문제의 해로서 구성된다.
• 해당 제어에 대한 해의 미분 가능성에 기반하여 은밀한 스파이크 변형을 사용하여 일阶 필요 최적성 조건을 도출한다.
• 스틸티지 적분에 대한 푸비니 유형 공식과 상태 전이 행렬을 사용하여 선형 시스템의 해를 표현한다.
• 최종 최적성 조건은 에클랜드 부등식과 상태 변수 및 쌍대 변수 간의 쌍대성의 조합을 통해 도출되며, 해밀토니안에 대한 최대 조건으로 이어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 실행 중인 상태 제약 조건이 있는 최적 제어 문제에 대해 변분 원리를 사용하여 포트리아진 최대원리를 엄밀히 유도할 수 있는가?
• RQ2 상태 제약 조건이 존재하는 상황에서 에클랜드 변분 원리가 필요 최적성 조건을 확립하는 데 정확히 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 동역학이 매끄럽고 상태 제약 조건이 활성화된 상황에서 쌍대 변수는 어떻게 정의되는가?
• RQ4 상태 제약 조건이 활성화된 경우 쌍대 방정식의 구조는 어떻게 되며, 스틸티지 적분을 통해 어떻게 표현되는가?
• RQ5 해밀토니안에 대한 최대 조건이 거의 확실히 성립하는 조건은 무엇이며, 이는 제약 조건과 관련된 쌍대 변수와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 최적 제어 $ u^* $ 는 거의 모든 $ t \in [0,T] $ 에 대해 $ u^*(t) \in \arg\min_{v \in \Omega} H(q^*(t), v, p(t), t) $ 를 만족한다. 여기서 $ H $ 는 해밀토니안이다.
• 쌍대 벡터 $ p \in \mathrm{BV}_n $ 는 종단 조건 $ p(T) = \psi \nabla \Psi(q^*(T)) $ 와 함께 후방 카우시-스틸티지 문제 $ -dp = \partial_1 H \, dt + \sum_{i=1}^j \partial_1 G_i \, d\eta_i $ 의 유일한 해이다.
• 승수 $ \eta_i \in \mathrm{NBV}_1 $ 는 비감소적이며, 보완 타당성 조건 $ \int_0^T G_i(q^*(\tau), \tau) \, d\eta_i(\tau) = 0 $ 를 모든 $ i = 1, \dots, j $ 에 대해 만족한다.
• 쌍대 방정식의 해 $ p $ 는 명시적인 두아무엘 유형 공식 $ p(t) = Z(T,t)^\top p_T + \int_t^T Z(\tau,t)^\top \partial_1 H \, d\tau + \sum_{i=1}^j \int_t^T Z(\tau,t)^\top \partial_1 G_i \, d\eta_i(\tau) $ 로 주어진다.
• 선형 카우시-스틸티지 문제의 해의 존재성과 유일성은 유계 함수 공간에서의 수축 사상 원리를 통해 확립된다.
• 증명은 데이터의 매끄러움 조건 하에서 상태 제약 조건이 존재하는 상황에서도 에클랜드 변분 원리가 필요 조건을 효과적으로 도출하는 데 사용될 수 있음을 보여준다.