[논문 리뷰] Note on stochastic control problems related with general fully coupled forward-backward stochastic differential equations

Juan Li|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 23.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 확률적 최적 제어 문제를 일반적인 완전히 결합된 정방향-역방향 확률미분방정식(FBSDE)에 대해 다루며, 확산 계수( diffusion coefficient)가 제어 변수와 역방향 성분의 Z-성분에 모두 의존하는 경우를 고려한다. 일반화된 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 프레임워크와 Z-의존성에 대한 대수방정식을 결합하여, 저자들은 가치 함수가 관련된 HJB 방정식의 결정론적 점성해(solution)임을 증명하며, 이는 이전 결과를 제어와 Z-의존성이 동시에 존재하는 일반적인 경우로 확장한다.

ABSTRACT

In this paper we study stochastic optimal control problems of general fully coupled forward-backward stochastic differential equations (FBSDEs). In Li and Wei [8] the authors studied two cases of diffusion coefficients $σ$ of FSDEs, in one case when $σ$\ depends on the control and does not depend on the second component of the solution $(Y, Z)$ of the BSDE, and in the other case $σ$ depends on $Z$ and doesn't depend on the control. Here we study the general case when $σ$ depends on both $Z$ and the control at the same time. The recursive cost functionals are defined by controlled general fully coupled FBSDEs, then the value functions are given by taking the essential supremum of the cost functionals over all admissible controls. We give the formulation of related generalized Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equations, and prove the value function is its viscosity solution.

연구 동기 및 목표

• 정방향 SDE의 확산 계수(σ)가 제어 변수와 역방향 성분의 Z-성분에 모두 의존할 경우, 완전히 결합된 FBSDE에 대한 확률적 제어 이론에서의 격차를 해결하기 위해.
• 이러한 결합된 의존성 조건이 존재할 경우, 해당 일반화된 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 방정식을 수립하기 위해.
• 적절한 정규성 및 단조성 조건 하에서 유도된 HJB 방정정식의 가치 함수가 점성해임을 증명하기 위해.
• Li와 Wei(2012)의 이전 결과를 일반화하기 위해, σ가 제어 또는 Z 중 하나에만 의존하는 경우에만 고려한 바를 넘어서, 동시에 두 성분에 의존하는 경우를 포함하는 것.
• 완전히 결합된 FBSDE에 대한 이전의 추정치를 기반으로, 동적 프ogramming 원리와 시간에 대한 가치 함수의 연속성을 수립하기 위해.

제안 방법

• 정방향(X), 역방향(Y,Z) 과정과 제어(u)를 포함하는 일반적인 완전히 결합된 FBSDE 시스템을 수립하며, 계수들이 X, Y, Z, u에 의존함을 정의한다.
• 비용 기능을 역방향 과정의 초기값 Y_t^{t,x;u}로 정의하고, 가치 함수를 모든 적합한 제어에 대한 본질적 상한값으로 정의한다.
• 가치 함수 W와 관련된 PDE와 Z-의존성을 반영하는 변수 V(t,x,u) = DW·σ에 대한 대수방정식을 결합한 일반화된 HJB 방정식을 유도한다.
• Peng의 역방향 확률미분방정식(Backward SDE) 방법과 확률적 역방향 반군 기법을 적용하여 가치 함수를 분석하고 동적 프로그래밍 원리를 검증한다.
• 대수적 제약 조건이 있는 PDE의 점성해 이론을 적용하며, σ 및 계수들에 대한 기술적 가정을 통해 대수방정식의 해가 존재하고 유일함을 보장한다.
• 고정점 논증과 계속성 방법을 활용하여 대수방정식의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, Li와 Wei(2012)의 결과를 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정방향 SDE의 확산 계수 σ이 제어 변수와 역방향 SDE 해의 Z-성분에 모두 의존할 경우, 가치 함수는 어떻게 행동하는가?
• RQ2 이 일반적인 결합된 경우에서 올바른 일반화된 해밀토니안-자코비-벨만(HJB) 방정식의 형태는 무엇이며, 이전의 형태와 어떻게 다를까?
• RQ3 σ이 동시에 u와 Z에 의존할 경우, 가치 함수가 여전히 유도된 HJB 방정식의 점성해임을 어떻게 보일 수 있는가?
• RQ4 HJB 설정에서 발생하는 Z-의존성에 기인한 대수방정식의 해가 존재하고 유일함을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 이러한 일반화된 가정 하에서 동적 프로그래밍 원리와 가치 함수의 시간 연속성은 어떻게 수립할 수 있는가?

주요 결과

• 주어진 가정 하에서 가치 함수 W(t,x)는 결정론적임을 증명하며, 더 단순한 경우에서의 핵심 성질을 확장한다.
• Li와 Wei(2012)에서 사용된 동일한 프레임워크를 통해 시간 t에 대한 가치 함수 W(t,x)의 연속성이 확립된다.
• 가치 함수 W(t,x)는 일반화된 HJB 방정식 (3.2)의 점성해임을 증명하며, 이는 PDE와 V(t,x,u)에 대한 대수방정식을 결합한다.
• V(t,x,u) = DW·σ인 대수방정식의 해는 유일하며, 모든 변수에 대해 유계이고 리프시츠 연속적인 표현 h(s, x, y, ζ, u)를 갖는다.
• HJB 방정식은 국소적 최대화를 포함한 제어에 대한 Supremum으로 구성되며, 비율, 확산, 생성자 항을 포함하고, σσ^T D²W의 트레이스를 통해 이차항을 반영한다.
• 증명은 Li와 Wei(2012)에서 제안된 계속성 방법과 고정점 논증을 확장하여, σ가 u와 Z에 동시에 의존하는 경우를 다룰 수 있도록 한다.