[논문 리뷰] Note on the complexity of deciding the rainbow connectedness for bipartite graphs

Shasha Li, Xueliang Li|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 26.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 4인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 이분 그래프의 레인보우 연결 수가 2인지 여부를 결정하는 것이 다항시간 내에 해결 가능하다고 증명하며, 일반적인 경우의 NP-완전성과 대비된다. 또한 일반적인 경우에서의 다항시간 환원을 통해, 이분 그래프의 간선 색칠된 그래프에서의 레인보우 연결성 결정 문제는 수의 수가 유계가 아니더라도 여전히 NP-완전하다고 증명한다.

ABSTRACT

A path in an edge-colored graph is said to be a rainbow path if no two edges on the path have the same color. An edge-colored graph is (strongly) rainbow connected if there exists a rainbow (geodesic) path between every pair of vertices. The (strong) rainbow connection number of $G$, denoted by ($scr(G)$, respectively) $rc(G)$, is the smallest number of colors that are needed in order to make $G$ (strongly) rainbow connected. Though for a general graph $G$ it is NP-Complete to decide whether $rc(G)=2$, in this paper, we show that the problem becomes easy when $G$ is a bipartite graph. Moreover, it is known that deciding whether a given edge-colored (with an unbound number of colors) graph is rainbow connected is NP-Complete. We will prove that it is still NP-Complete even when the edge-colored graph is bipartite. We also show that a few NP-hard problems on rainbow connection are indeed NP-Complete.

연구 동기 및 목표

• 이분 그래프의 레인보우 연결 수가 정확히 2인지 여부를 결정하는 문제의 복잡도를 해결하기 위해.
• 일반 그래프에서의 레인보우 연결성의 NP-완전성이 이분 그래프로까지 확장되는지 조사하기 위해.
• 고정된 k ≥ 2에 대해 여러 레인보우 연결 문제의 NP-완전성을 증명함으로써 이전의 NP-난이도 결과를 강화하기 위해.
• 구조적 그래프 클래스에서 레인보우 연결성의 다항시간 가능 및 불가능한 경우의 경계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 이분 그래프에서 rc(G) = 2이면 G가 t ≤ 2^s 인 완전 이분 그래프 K_{s,t}이어야 하며, 이를 통해 다항시간 결정 알고리즘을 제시한다.
• 모든 간선을 새로운 정점으로 분할하고, 두 개의 새로운 간선에 서로 다른 색을 할당함으로써, 임의의 간선 색칠된 그래프 G에서 이분 그래프 G'로의 다항시간 환원을 구축한다.
• G가 레인보우 연결되어 있음과 동치로, 확장된 색칠에 대해 생성된 G'도 레인보우 연결되어 있음을 보여준다.
• 고정된 k에 대해, 모든 두 정점 사이의 길이가 k 이하인 경로를 확인함으로써, 레인보우 k-색칠이 다항시간 내에 검증 가능하다는 사실을 이용한다.
• 특히 Lemma 2.5에 의거한 완전 이분 그래프에서의 레인보우 연결성에 관한 기존 결과, 즉 rc(K_{s,t}) = min{⌈√[s]t⌉, 4}를 활용하여 결정 조건을 유도한다.
• rc(G) ≤ k 및 src(G) ≤ k 문제의 NP-완전성을 증명하기 위해, 문제들이 NP에 속해 있음을 보이고, 기존의 알려진 NP-완전 문제로 환원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 그래프에서 NP-완전인 데도 이분 그래프에서 rc(G) = 2인지 여부를 결정하는 것이 P에 속하는가?
• RQ2 간선 색칠된 그래프에서의 레인보우 연결성의 NP-완전성이 이분 그래프로 제한된 경우에도 유지되는가?
• RQ3 rc(G) ≤ k 및 src(G) ≤ k 문제들이 고정된 k ≥ 2에 대해 여전히 NP-완전한가, 특히 G가 이분 그래프일 경우에도 마찬가지인가?
• RQ4 이분 그래프의 레인보우 연결 수는 효율적으로 계산될 수 있는가, 그리고 어떤 구조적 조건에서 가능한가?
• RQ5 이분 그래프의 구조와 그 레인보우 연결 수 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 이분 그래프 G에 대해 rc(G) = 2인지 여부를 결정하는 것은 다항시간 내에 해결 가능하며, 이는 G가 t ≤ 2^s 인 완전 이분 그래프 K_{s,t}이어야 함과 동치이다.
• 주어진 간선 색칠된 이분 그래프가 레인보우 연결되어 있는지 여부를 결정하는 문제는 수의 수가 유계가 아니더라도 여전히 NP-완전하다.
• 모든 고정된 k ≥ 2에 대해, rc(G) ≤ k 여부를 결정하는 것은 NP-완전하다. 이는 이전의 NP-난이도 결과를 NP-완전성으로 강화한다.
• 마찬가지로, src(G) ≤ k 여부를 결정하는 문제도 고정된 k ≥ 2에 대해 NP-완전하다. 이는 G가 이분 그래프일 경우에도 마찬가지다.
• 일반 그래프에서 이분 그래프로의 환원은 레인보우 연결성을 유지하므로, 이분 그래프 환경에서 문제의 NP-완전성을 증명한다.
• 완전 이분 그래프 K_{s,t}의 레인보우 연결 수는 min{⌈√[s]t⌉, 4}이며, 이는 이 클래스에 대한 정확한 특성화를 제공한다.