[논문 리뷰] Note on the tensor product of dendroidal sets

Denis-Charles Cisinski, Ieke Moerdijk|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 25.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 3인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 적어도 하나의 인자가 개방된 덴로이드럴 세트인 경우, 트리에 대한 셈플러와 높이 함수의 조합적 분석을 통해 덴로이드럴 세트의 텐서곱이 정규 단사형을 유지함을 입증한다. 주요 결과는 덴로이드럴 세트 위의 작용 모델 구조가 조이알 모델 구조를 가진 단순형 세트에 대해 강화되어 있으며, 이 구조의 개방된 덴로이드럴 세트에 대한 제한은 대칭 모노이드적임을 확인함으로써 고차원 대수적 구조와 작용적 호모토피 이론의 기초적 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In our paper "Dendroidal sets as models for homotopy operads" (J. Topol. 4 (2011), no. 2, 257-299, and arXiv:0902.1954), we made the wrong claim about the behaviour of the tensor product with respect to cofibrations of dendroidal sets. We added an erratum at the end of the arXiv version of loc. cit. This short note contains the proof of a technical lemma used in the erratum.

연구 동기 및 목표

• 개방된 덴로이드럴 세트 위의 작용 모델 구조에서 기초적인 문제를 해결하기 위해, 텐서곱이 정규 단사형을 유지함을 증명하는 것.
• 작용 모델 구조가 조이알 모델 구조를 가진 단순형 세트에 대해 강화되어 있음을 입증하는 것.
• 작용 모델 구조가 개방된 덴로이드럴 세트에 제한되었을 때 대칭 모노이드적임을 보이는 것.
• 이전 연구에서 사용된 핵심 기술적 보조정리의 보완되고 상세한 증명을 제공하는 것.

제안 방법

• 단사형이 $[n] \otimes T$ 에 들어가는 데 대한 이중 대응을 사용하며, 여기서 $u: S \to T$ 는 $T$ 의 면이고 $h$ 는 $S$ 위의 단조 증가 높이 함수이다.
• 덴드리스(덴드리스)를 $[n]$ 과 트리 $T$ 의 셈플러로 표현하며, 높이 함수는 간선에 $\{0, \dots, n\}$ 의 값을 할당한다.
• 셈플러 보조정리를 적용하여 셈플러의 면을 분석하고, 면의 교차가 기저 트리와 높이 함수의 교차에 대응됨을 보인다.
• 열린 트리와 열린 덴로이드럴 세트(열린 트리들의 쌍차)의 개념을 사용하여, 유도를 통해 결과를 확장한다.
• 간선이나 정점(루트 및 상단 정점 포함)을 제거하는 경우에 따라 분석하며, 밀도 없는 정점과 밀도 있는 정점의 차이를 구분한다.
• 특정 색상(라벨)이 셈플러에 존재하지 않기 때문에, $S \otimes T$ 의 면의 교차가 요소들 사이의 교차에 대응됨을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 한 인자가 개방된 경우, 덴로이드럴 세트의 텐서곱이 정규 단사형을 유지하는가?
• RQ2 단사형 $[n] \otimes T$ 에서 면의 분해는 $[n]$ 과 $T$ 의 면으로 어떻게 표현되는가?
• RQ3 $[n] \otimes T$ 의 셈플러의 조합적 구조는 단사형을 특징짓는가?
• RQ4 $S \otimes \partial_y T \cap S \otimes \partial_z T = S \otimes (\partial_y T \cap \partial_z T)$ 가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 개방된 덴로이드럴 세트에 제한되었을 때, 덴로이드럴 세트 위의 작용 모델 구조가 대칭 모노이드적임을 보일 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $n \geq 0$ 과 $T \in \Omega$ 에 대해, $ (\partial\Delta[n] \otimes \Omega[T]) \cup (\Delta[n] \otimes \partial\Omega[T]) \to \Delta[n] \otimes \Omega[T] $ 는 높이 함수 대응을 통해 정규 단사형임이 입증된다.
• 단사형은 $[n] \otimes T$ 에서 쌍 $(u: S \to T, h)$ 와 이중 대응되며, 여기서 $u$ 는 $T$ 의 면이고 $h$ 는 $S$ 위의 단조 증가 높이 함수이다.
• $\partial_i[n] \otimes T \cap \partial_j[n] \otimes T = (\partial_i[n] \cap \partial_j[n]) \otimes T$ 이고, $[n] \otimes \partial_x T$ 와 혼합 교차의 경우에도 유사한 항등식이 성립한다.
• 열린 트리 $S$ 와 $T$ 에 대해, 포함관계 $S \otimes \partial T \cup_{\partial S \otimes \partial T} \partial S \otimes T \to S \otimes T$ 는 단사형이므로 정규 단사형이다.
• 개방된 덴로이드럴 세트 사이의 정규 단사형의 텐서곱은 여전히 정규 단사형이므로, 개방된 덴로이드럴 세트의 범주에서 대칭 모노이드적 구조가 확인된다.
• 비개방 트리에 대해 셈플러 보조정리가 실패함을, 밀도 없는 정점과 밀도 있는 정점이 포함된 비개방 트리의 반례를 통해 보여준다.