[논문 리뷰] Notes about extended real- and set-valued functions

Andreas H. Hamel, Carola Schrage|arXiv (Cornell University)|2010. 11. 14.

Advanced Algebra and Logic참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 잔여 모노이드와 공선형 공간을 사용하여 확장된 실수 및 집합값 함수를 위한 통합된 대수학적이고 순서 이론적 프레임워크를 개발한다. 이는 비정상 함수를 포함하여 방향 도함수, 준미분, 레전드르–펜켈의 쌍대성 변환을 일관되게 정의할 수 있도록 한다. 주요 기여는 새로운 보조 실수 변수를 포함한 쌍대성 정의를 통해 비정상 요소를 포함하여 쌍대성과 최소합을 확장하는 대칭적이고 완전한 이중성 이론을 수립한 것이다.

ABSTRACT

An order theoretic and algebraic framework for the extended real numbers is established which includes extensions of the usual difference to expressions involving $-\infty$ and/or $+\infty$, so-called residuations. Based on this, definitions and results for directional derivatives, subdifferentials and Legendre--Fenchel conjugates for extended real-valued functions are given which admit to include the proper as well as the improper case. For set-valued functions, scalar representation theorems and a new conjugation theory are established. The common denominator is that the appropriate image spaces for set-valued functions share fundamental structures with the extended real numbers: They are order complete, residuated monoids with a multiplication by non-negative real numbers.

연구 동기 및 목표

• 확장된 실수 함수의 다루기 어려운 표현, 특히 $+\infty - \infty$ 와 같은 경우의 비일관성을 제거하기 위해 엄밀한 대수학적 기반을 구축하는 것.
• 대칭적인 대수학적 구조를 사용하여 비정상 볼록 및 볼록 함수에 대해 방향 도함수, 준미분 및 펜켈 쌍대성을 확장하는 것.
• 이미지 공간을 순서 완비이고 잔여적인 공선형 공간으로 모델링하여 집합값 함수에 대한 새로운 쌍대성 이론을 개발하는 것.
• 보조 실수 변수를 쌍대성 정의에 도입하여 스칼라 및 집합값 함수의 쌍대성 이론을 통합함으로써 비정상 함수일 경우에도 일관성을 확보하는 것.
• 새로운 프레임워크 하에서 최소합의 쌍대성이 그 쌍대의 최대합과 일치함을 보여주는 것.

제안 방법

• 확장된 실수 $\overline{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{-\infty\} \cup \{+\infty\}$ 에서 순서 완비이고 잔여적인 모노이드 구조를 도입하여, $+\infty - (-\infty)$ 와 같은 표현을 포함한 대수적 연산, 특히 잔여화를 정의한다.
• 볼록 함수와 볼록 함수를 대칭적으로 모델링하기 위해 $\overline{\mathbb{R}}$ 의 두 개의 별개의 대수적 복제본을 정의하며, $-1$ 곱하기 연산이 이중성을 유도한다.
• 보조 실수 변수를 포함한 수정된 레전드르–펜켈 쌍대성을 제안하여, 쌍대성을 선형 함수뿐 아니라 애फ인 함수에서도 정의할 수 있도록 한다.
• 이 프레임워크를 집합값 함수에 적용하기 위해 이미지 공간을 순서 완비이고 잔여적인 공선형 공간으로 모델링하여 스칼라 표현 정리가 가능하게 하고, 새로운 쌍대성 이론을 가능하게 한다.
• 확장된 쌍대성을 사용하여 새로운 형태의 최소합을 정의하고, 그 쌍대가 쌍대의 최대합과 일치함을 증명한다.
• 함수 $g: X \to Q^{\triangle}$ 에 대해 닫힘 볼록 쌓기 $g^{**} = \text{cl co } g$ 를 정의하며, $g$ 가 닫힘과 볼록일 경우 $g^{**} = g$ 를 만족시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변분 해석학에서 $+\infty - \infty$ 와 같은 대수적 비일관성을 일관된 산술 체계를 통해 어떻게 해결할 수 있는가?
• RQ2 대칭적인 대수학적 구조를 사용하여 비정상 볼록 및 볼록 함수에 대해 방향 도함수와 준미분을 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 비정상 함수에 대한 펜켈 쌍대의 올바른 일반화는 무엇이며, 이는 어떻게 이중성을 유지하는가?
• RQ4 집합값 함수에 어떻게 스칼라 쌍대성과 유사한 쌍대성 이론을 도입할 수 있으며, 이러한 이론의 배경이 되는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 새로운 프레임워크 하에서 두 함수의 최소합의 쌍대가 그 쌍대의 최대합과 일치하는가?

주요 결과

• 이 논문은 $\overline{\mathbb{R}}$ 의 두 개의 대수적으로 별개의 복제본을 도입함으로써 확장된 실수 함수에 대한 완전하고 대칭적인 이중성 이론을 수립하여 비정상 함수의 일관된 처리를 가능하게 한다.
• 보조 실수 변수를 포함한 수정된 레전드르–펜켈 쌍대성은 닫힘과 볼록일 경우 $g^{**} = g$ 가 성립함을 보장하며, 이는 $g$ 가 비정상일 경우에도 성립한다.
• 최소합 $f \square g$ 의 쌍대가 $f^*$ 와 $g^*$ 의 최대합과 일치함을 증명하였으며, 이는 표준 정의에서는 비정상 요소가 포함되지 않은 경우 성립하지 않는 결과이다.
• 집합값 함수의 경우 이미지 공간 $Q^{\triangle}$ 은 순서 완비이고 잔여적인 공선형 공간으로 모델링되어 스칼라 표현 정리와 새로운 쌍대성 이론을 가능하게 한다.
• 집합값 함수의 닫힘 볼록 쌓기는 $g^{**} = \text{cl co } g$ 를 만족하며, $g$ 가 닫힘과 볼록일 경우 $g^{**} = g$ 를 만족시켜 스칼라 사례를 일반화한다.
• 문헌에서 오랫동안 애매하게 여겨졌던 문제를 해결하여 $(f \square g)^* = f^* + g^*$ 와 같은 문장에서 좌변과 우변에 다른 덧셈 연산이 필요함을 밝혀내었으며, 이는 이제 엄밀하게 정의되었다.