[논문 리뷰] Notes on bimonads and Hopf monads

Bachuki Mesablishvili, Robert Wisbauer|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 18.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 14인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 단순한 호프 대수 이론을 일반화하여, 모나드의 오른쪽 전-호프 성질이 쌍대호프 모나드와 동치임을 증명한다. Cauchy 완비 범주 위의 양모나드가 왼쪽 및 오른쪽 융합 연산자가 모두 가역일 때에만 호프 모나드가 되며, 카르테시안 모나드 범주에서 전-호프 성질이 범주 동치를 유도하지 않는 반례를 제시한다.

ABSTRACT

For a generalisation of the classical theory of Hopf algebra over fields, A. Bruguières and A. Virelizier study opmonoidal monads on monoidal categories (which they called {\em bimonads}). In a recent joint paper with S. Lack the same authors define the notion of a {\em pre-Hopf monad} by requiring only a special form of the fusion operator to be invertible. In previous papers it was observed by the present authors that bimonads yield a special case %Hopf monads may be considered as a special case of an entwining of a pair of functors (on arbitrary categories). The purpose of this note is to show that in this setting the pre-Hopf monads are a special case of Galois entwinings. As a byproduct some new properties are detected which make a (general) bimonad on a Cauchy complete category to a Hopf monad. In the final section applications to cartesian monoidal categories are considered.

연구 동기 및 목표

• 오른쪽 전-호프 모나드와 갈로아 쌍대의 관계를 오른쪽 모나드와 쌍대모나드의 관계 맥락에서 명확히 하기.
• Cauchy 완비 범주 위의 양모나드가 호프 모나드가 되는 데 필요한 새로운 충분 조건을 규명하기.
• 카르테시안 모나드 범주에서 전-호프 성질이 있음에도 비교 함자(Comparison Functor)가 동치가 되지 않는 이유를 조사하기.
• 전통적인 호프 대수의 기본 정리를 엔트윙드 함수와 갈로아 이론의 맥락으로 일반화하기.
• 카르테시안 설정에서 전-호프 성질이 범주 동치를 유도하지 않는다는 반례를 제시하기.

제안 방법

• 저자들은 모나드와 쌍대모나드 사이의 엔트윙드 함수의 프레임워크를 사용하며, 특히 양모나드 $T$와 관련된 쌍대모나드 $-\otimes T(\mathbb{I})$ 에 초점을 맞춘다.
• 문헌 [10]의 갈로아 쌍대 이론을 적용하여 오른쪽 전-호프 모나드가 기저 범주와 $T$-모듈의 범주 사이에 동치를 유도하는 조건을 규명한다.
• 핵심 기술 도구는 비교 함자 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ 의 구성이며, 그의 본질적 상사성과 완전 충실성 분석을 수행한다.
• 군형 사상 $g: \mathbb{I} \to C$ 의 존재를 이용해 $C$ 에서의 쌍대모노이드 구조를 $T(C)$ 로 옮겨, 모듈과 쌍대모듈 범주 간의 함자를 정의한다.
• 논문은 [3]과 [11]의 결과를 응용하여 융합 연산자가 동치를 유도하는 조건를 정밀화한다.
• 반례로는 멱집합 모나드 $\mathcal{P}$ 와 그 제한 $\mathcal{P}^+$ 를 사용하여, 전-호프 조건을 만족함에도 불구하고 비교 함자가 동치가 되지 않는다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모나드 범주에서 오른쪽 전-호프 모나드가 비교 함자를 통해 기저 범주와 $T$-모듈의 범주 사이에 동치를 유도할 조건은 무엇인가?
• RQ2 Cauchy 완비 범주 위의 양모나드 $T$ 가 호프 모나드가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 모나드가 전-호프일 때에도 비교 함자 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ 가 동치가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 왜 카르테시안 모나드 범주인 $\text{Set}$ 에서는 모나드가 오른쪽 전-호프일지라도 비교 함자가 동치가 되지 않는가?
• RQ5 군형 사상 $g: \mathbb{I} \to C$ 가 쌍대모나드의 맥락에서 동치가 되는 조건는 무엇이며, 이는 모듈과 쌍대모듈 범주 간의 유도된 함자에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 오른쪽 전-호프 모나드는 정확히 그에 관련된 엔트윙딩이 $G_{T(\mathbb{I})}$-갈로와일 때이며, 이는 기저 범주와 $T$-모듈의 범주 사이에 범주 동치를 유도한다.
• Cauchy 완비 범주 위의 양모나드는 그 왼쪽 및 오른쪽 융합 연산자가 모두 동치일 때에만 호프 모나드가 된다.
• 기저 범주가 집합 값 층의 범주인 $T_u$ 에 대해서는 비교 함자 $K_{1_{\mathtt{1}},\mathtt{1}}$ 가 동치가 아니지만, $T_u$ 는 오른쪽 전-호프이다.
• 멱집합 모나드 $\mathcal{P}$ 에 대해서는 비교 함자 $\overline{i}: \textbf{ACSLat} \to (\textbf{CSLat} \downarrow \mathtt{2})$ 가 동치가 아니지만, $\mathcal{P}^+$ 는 오른쪽 전-호프이다.
• 완전 준순서집합 위에서의 함자 $i_*i^*$ 는 새로운 최소 원소를 추가하며, 쌍대모나드 사상 $S_{\overline{i}}$ 는 동치가 아니므로 $1_{\mathtt{1}}$ 이 $\mathcal{P}$ 에 대해 갈로와 군형 원소가 아니라는 것을 보여준다.
• 비교 함자 $\overline{i}$ 는 완전 충실하며 오른쪽 수반 함자가 존재하지만, 동치는 아니며, 이는 카르테시안 설정에서 전-호프 성질이 범주 동치를 유도하지 않는다는 것을 보여준다.