[논문 리뷰] Notes on data-driven output-feedback control of linear MIMO systems

Mohammad Alsalti, Victor G. Lopez외 1명|arXiv (Cornell University)|2023. 11. 29.

Control Systems and Identification인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 MIMO 선형 시간 불변(LTI) 시스템에 대한 데이터 기반 출력 피드백 제어 문제를 다루며, 입력-출력 데이터에서 직접 구성된 비최소 상태 벡터를 제안한다. 데이터 기반 접근 방식을 통해 상태를 재정의함으로써 안정화 제어기 설계에 필수적인 랭크 조건을 만족시키며, 이는 MIMO 시스템에서 출력 피드백 문제에 상태 피드백 제어 기법을 직접 적용할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Recent works have approached the data-driven design of dynamic output-feedback controllers for discrete-time LTI systems by constructing non-minimal state vectors composed of past inputs and outputs. Depending on the system's complexity (order $n$, lag $\ell$ and number of outputs $p$), it was observed in several works that such an approach presents significant limitations. In particular, many works require to restrict the class of LTI systems to those satisfying the relation $p\ell=n$. In this note, we show how to address the general MIMO case (for which $p\ell\geq n$ in general) by constructing an alternative non-minimal state vector from data. Different from the existing literature, our method guarantees the satisfaction of certain rank conditions when the system is persistently excited, thereby facilitating the direct data-driven dynamic output-feedback control of MIMO systems by applying methods that were originally developed for the input-state data setting.

연구 동기 및 목표

• 기존의 데이터 기반 출력 피드백 제어 방법에서 MIMO LTI 시스템에 대한 한계를 규명하고, 과거 입력과 출력으로 구성된 표준 비최소 상태를 사용할 경우 핵심 랭크 조건이 실패하는 이유를 밝히는 것.
• 표준 비최소 상태 구성 방식이 MIMO 시스템에서 랭크 결손을 야기하여 안정화 제어기 설계를 약화시킨다는 문제를 해결하는 것.
• 입력-출력 데이터에서 직접 유도된 대체 비최소 상태 벡터를 제안하여 제어기 설계에 필요한 랭크 조건을 보장하는 것.
• 기존의 데이터 기반 상태 피드백 제어 기법(예: 안정화, 최적, 강건 제어 등)을 이 새로운 데이터 기반 상태 표현을 통해 MIMO 시스템의 출력 피드백 문제에 직접 적용할 수 있도록 하는 것.
• 이전 문헌에서 요구했던 제한적인 $p\ell = n$ 조건을 초월하여 데이터 기반 제어 방법의 적용 가능성을 일반 MIMO 시스템으로 확장하는 것.

제안 방법

• 입력-출력 데이터에서 직접 유도된 비최소 상태 벡터 $ z_t = \begin{bmatrix} u_{[t-\ell,t-1]} \\ \overline{\Theta} y_{[t-\ell,t-1]} \end{bmatrix} $ 를 구성하며, 여기서 $ \overline{\Theta} $ 는 특이값 분해와 랭크 유지 변환을 통해 데이터 행렬에서 유도된다.
• 지속적으로 진동하는 입력-출력 궤적을 사용하여 입력-출력 궤적 공간을 커버하는 데이터 행렬 $ H $ 를 구성함으로써 구조적 성질이 유지되도록 한다.
• 노이즈가 있는 데이터 행렬에 특이값 분해(SVD)를 적용하여 노이즈가 없는 데이터 행렬의 저랭크 근사 $ \widehat{H} $ 를 복구하며, 필요한 랭크를 유지하기 위해 $ m(\ell+1) + n $ 개의 가장 큰 특이값을 유지한다.
• SVD의 구성 요소를 분할하여 랭크 유지 및 선형 독립성을 보장하는 변환 행렬 $ \overline{\Theta} $ 를 추출한다. 이는 과거 출력을 고차원 상태 공간으로 매핑한다.
• 새로운 비최소 상태 $ z_t $ 를 사용하여 제어기 설계를 수립함으로써, [5, 6, 8, 9]와 같은 기존의 데이터 기반 상태 피드백 제어 기법을 출력 피드백 응용에 직접 적용할 수 있도록 한다.
• 최종적으로 생성된 데이터 행렬이 제어기 해법 가능성과 안정성 보장을 위한 핵심 조건인 랭크 조건 $ \text{rank}(H) = m(\ell+1) + n $ 를 만족하도록 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 과거 입력과 출력에 기반한 표준 비최소 상태 구성 방식이 MIMO LTI 시스템에서 필요한 랭크 조건을 충족하지 못하는가?
• RQ2 MIMO 시스템의 어떤 구조적 성질이 기존의 데이터 기반 상태 벡터를 사용할 경우 랭크 조건 위반을 초래하는가?
• RQ3 입력-출력 데이터로부터 새로운 비최소 상태 벡터를 구성하여 제어기 설계에 필요한 랭크 조건을 충족시킬 수 있는가?
• RQ4 노이즈가 있는 데이터는 어떻게 처리하여 데이터 기반 출력 피드백 제어에서 필요한 랭크 구조를 유지할 수 있는가?
• RQ5 기존의 데이터 기반 상태 피드백 제어 기법은 제안된 비최소 상태를 사용할 경우 출력 피드백 제어에 얼마나 잘 적응될 수 있는가?

주요 결과

• 과거 입력과 출력에 기반한 표준 비최소 상태 구성 방식은 MIMO 시스템에서 요구되는 랭크 조건 $ \text{rank}(H) = m(\ell+1) + n $ 를 충족하지 못하며, 특히 $ p\ell > n $ 인 경우 제어기 설계가 모호해진다.
• 제안된 대체 비최소 상태 벡터는 제어기 설계에 사용되는 데이터 행렬이 전체 랭크 $ m(\ell+1) + n $ 를 확보함으로써 안정화 제어기 합성에 필수적인 조건을 만족시킨다.
• 노이즈가 있는 데이터에 대해 SVD 기반 근사 기법을 적용함으로써, 랭크 $ m(\ell+1) + n $ 를 유지하는 저랭크 추정치 $ \widehat{H} $ 를 복구함으로써 측정 노이즈에 대해 강건성을 확보하면서도 설계의 실현 가능성을 유지한다.
• 데이터 행렬에서 유도된 $ \overline{\Theta} $ 의 구성은 과거 출력을 선형 독립성을 유지하면서도 상태 벡터로 변환할 수 있도록 하며, 제어기 설계를 지원한다.
• 이 방법은 제어기 설계에 대해 시스템 식별이 필요 없이도, 최적 또는 강건 제어를 위한 기존의 데이터 기반 상태 피드백 제어 기법을 출력 피드백 문제에 직접 적용할 수 있도록 한다.
• 이 접근법은 이전 문헌에서 요구했던 제한적인 $ p\ell = n $ 조건을 초월하여, 일반적인 MIMO 시스템에서 $ p\ell \geq n $ 인 경우에도 적용 가능성을 넓힌다.