[논문 리뷰] Notes on linearly H-closed spaces and od-selection principles

Mathieu Baillif|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 03.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 선형 H-닫힘 공간—모든 체인 커버가 조밀한 원소를 가진 위상공간—을 조사하며, 이를 약한 컴팩트성과 H-닫힘성 사이에 엄밀히 놓는다. 정칙 H-닫힘 공간은 컴팩트임을 보이며, 다양한 클래스(예: 집합별로 정규성과 프레셰-우르소프 공간)에서 비콤팩트 선형 H-닫힘 공간이 존재함을 증명하고, PFA가 추가 국소 조건 하에서 첫 번째 가산성 조건을 만족하는 정규 선형 H-닫힘 비콤팩트 공간의 존재를 금지함을 보인다.

ABSTRACT

A space is called linearly H-closed iff any chain cover possesses a dense member. This property lies strictly between feeble compactness and H-closedness. While regular H-closed spaces are compact, there are linearly H-closed spaces which are even collectionwise normal and Fréchet-Urysohn. We give examples in other classes, and ask whether there is a first countable normal linearly H-closed non-compact space in ZFC. We show that PFA implies a negative answer if the space is moreover either locally separable or locally compact and locally ccc. Ostaszewski space (built with $\diamondsuit$) is an example which is even perfectly normal. We also investigate Menger-like properties for the class of od-covers, that is, covers whose members are open and dense.

연구 동기 및 목표

• 선형 H-닫힘 공간이라는 새로운 위상성질을 정의하고 조사하며, 이는 약한 컴팩트성과 H-닫힘성 사이에 엄밀히 놓인다.
• ZFC에서 첫 번째 가산성 조건을 만족하는 정규 선형 H-닫힘 비콤팩트 공간이 존재하는가를 판단하는 데, 오랫동안 미해결된 열린 질문이다.
• 모든 원소가 열려 있고 조밀한 커버인 od-커버에 대한 멕거 유사 선택 원리—특히 Δ-커버와 Δ-선택 성질과의 관계—를 연구한다.
• Δ-선택 원리와 전형적인 선택 성질인 Δ-Δ 및 Δ-\mathcal{O} 사이의 관계를 명확히 한다.
• 강제법 원리 하에서 이러한 공간의 존재를 제약하는 분리성 및 국소 성질(예: 국소적으로 분리 가능, 국소적으로 컴팩트, 국소적으로 ccc)의 역할을 조사한다.

제안 방법

• 체인 커버를 통한 선형 H-닫힘 공간 정의: 공간이 선형 H-닫힘임은 모든 체인 커버가 조밀한 원소를 지니거나 유한한 부분가족의 합집합이 조밀한 경우에 한하여 성립한다.
• 필터 기반 특성화 적용: 공간이 선형 H-닫힘임은 모든 체인 필터 기반(선형 순서진열된 열린 필터 기반)이 침습점(접근점)을 가진다.
• 강제법 원리(PFA)를 사용한 일致성 결과 도출: PFA 하에서, 국소적으로 분리 가능하거나 동시에 국소적으로 컴팩트하고 국소적으로 ccc인 조건을 만족하는 첫 번째 가산성 조건을 만족하는 정규 선형 H-닫힘 비콤팩트 공간은 존재하지 않는다.
• od-커버(열린 조밀한 커버) 분석 및 선택 원리 Δ-Δ, Δ-\mathcal{O}, Δ-\mathcal{O} 도입—메커거 유사 성질을 연구하기 위함.
• 티호노프 플랭크와 오스타셰프스키 공간(\diamondsuit를 사용해 구축)과 같은 위상적 구성 기법을 사용해 비콤팩트 선형 H-닫힘 공간의 예를 제시한다.
• 선택 원리 결과 적용: 분리 가능한 공간에서 Δ-\mathcal{O}는 \mathcal{O}-\mathcal{O}와 동치이며, 닫힌 무소산 부분집합은 \mathcal{O}-\mathcal{O}를 만족할 때만 Δ-\mathcal{O}를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 ZFC에서 첫 번째 가산성 조건을 만족하는 정규 선형 H-닫힘 비콤팩트 공간이 존재하는가?
• RQ2 PFA 하에서, 국소적으로 분리 가능하거나 동시에 국소적으로 컴팩트하고 국소적으로 ccc인 조건을 만족하는 첫 번째 가산성 조건을 만족하는 정규 선형 H-닫힘 비콤팩트 공간이 존재할 수 있는가?
• RQ3 분리 가능한 공간에서 Δ-\mathcal{O}와 \mathcal{O}-\mathcal{O} 선택 원리 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 od-콤팩트 공간은 Δ-\mathcal{O}를 만족하는가? 그리고 비od-콤팩트 리인델뢰프 공간이 \mathcal{O}-\mathcal{O}를 만족하지 않으면서도 Δ-\mathcal{O}를 만족할 수 있는가?
• RQ5 공간의 비고립점 부분집합의 Δ-\mathcal{O} 성질이 전체 공간의 Δ-\mathcal{O} 성질과 동치인가?

주요 결과

• 선형 H-닫힘 공간은 약한 컴팩트성과 H-닫힘성 사이에 엄밀히 놓이며, 집합별로 정규성과 프레셰-우르소프 공간과 같은 클래스에서 비콤팩트 예가 존재한다.
• 티호노프 플랭크는 비콤팩트 선형 H-닫힘 티호노프 공간의 표준적 예이다.
• \diamondsuit를 사용해 구축한 오스타셰프스키 공간은 완전히 정규적이며, 첫 번째 가산성 조건을 만족하고 비콤팩트인 선형 H-닫힘 공간이다.
• PFA 하에서, 국소적으로 분리 가능하거나 동시에 국소적으로 컴팩트하고 국소적으로 ccc인 조건을 만족하는 첫 번째 가산성 조건을 만족하는 정규 선형 H-닫힘 비콤파크트 공간은 존재하지 않는다.
• 분리 가능한 공간에서 Δ-\mathcal{O}는 \mathcal{O}-\mathcal{O}와 동치이며, 공간이 Δ-\mathcal{O}를 만족하는 것은 모든 닫힌 무소산 부분집합이 \mathcal{O}-\mathcal{O}를 만족하는 것과 동치이다.
• 비콤팩트 하우스도르프 공간 중 Δ-\mathcal{O}를 만족하는 것이 존재하지만, 정칙 공간이 Δ-\mathcal{O}를 만족하려면 반드시 \mathcal{O}-\mathcal{O}도 만족해야 한다.