[논문 리뷰] Notes on nonlinear quantum algorithms

Marek Czachor|ArXiv.org|1998. 02. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 애브럼스와 루이스가 제안한 비선형 양자 알고리즘을 조사하여, 그 빠른 성능이 물리적으로 비현실적인 초광속 신호 전파에 기반하지 않음을 입증한다. 국소적이고 웨인버그의 비선형성과는 다른 비선형 역학을 사용함으로써 인과성을 유지하는 바, 저자는 검색 문제에서 해의 수가 0인지 아니면 0이 아닌지를 식별할 수 있음을 보여주며, 상대성 이론의 제약을 위반하지 않고도 빠른 탐지가 가능하다.

ABSTRACT

Recenty Abrams and Lloyd have proposed a fast algorithm that is based on a nonlinear evolution of a state of a quantum computer. They have explicitly used the fact that nonlinear evolutions in Hilbert spaces do not conserve scalar products of states, and applied a description of separated systems taken from Weinberg's nonlinear quantum mechanics. On the other hand it is known that violation of orthogonality combined with the Weinberg-type description generates unphysical, arbitrarily fast influences between noninteracting systems. It was not therefore clear whether the algorithm is fast because arbitrarily fast unphysical effects are involved. In these notes I show that this is not the case. I analyze both algorithms proposed by Abrams and Lloyd on concrete, simple models of nonlinear evolution. The description I choose is known to be free of the unphysical influences (therefore it is not the Weinberg one). I show, in particular, that the correct local formalism allows even to simplify the algorithm.

연구 동기 및 목표

• 비선형 양자 알고리즘이 상호작용하지 않는 시스템 간에 비현실적인 초광속 영향을 암시할 수 있다는 우려를 해결하기 위해.
• 애브램스와 루이스의 비선형 알고리즘에서 발생하는 가속화가 이러한 비현실적인 효과에 기인하는지, 아니면 타당한 비선형 역학에 기인하는지 검토하기 위해.
• 인과성과 일치하는 비선형 형식이 여전히 빠른 양자 알고리즘을 가능하게 할 수 있음을 보여주기 위해.
• 국소적이고 웨인버그의 비선형성과는 다른 비선형 진화 모델을 사용하여 알고리즘을 단순화하고 명확화하기 위해.
• 비선형 진화가 작은 s에 대해서도 s=0과 s>0을 효과적으로 구별할 수 있음을 보여주기 위해.

제안 방법

• 정규화를 유지하고 웨인버그 형식의 비국소성을 피하는 비선형 슈뢰딩거 유형의 진화 방정식을 채택한다.
• 플래그 큐비트에만 비선형 역학을 적용하여 국소성과 인과성을 확보한다.
• 상태가 |0⟩에 가까울수록 안정하고, 중첩 상태는 |1⟩ 쪽으로 이동하는 모빌리티 유형의 진화를 사용하여, 비제로 해의 수를 탐지할 수 있도록 한다.
• 작은 결합 계수 ε와 효과적 주파수 ωε,α ≈ ε를 제어하는 데 사용되는 매개변수 α를 포함한 시간에 의존하는 해밀토니안 모델을 사용한다.
• 플래그 큐비트의 기대값 ⟨σ₃⟩의 시간 진화를 분석하여, s > 0일 경우에만 진동하는 행동을 보임을 보여준다.
• 플래그 큐비트에서 |1⟩을 측정할 확률을 P(f=1) = s / 2ⁿ으로 유도하여, 작은 s에 대해 올바른 스케일링이 유지됨을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비선형 양자 알고리즘이 비현실적인 초광속 신호 전파 효과 없이도 빠른 성능을 낼 수 있는가?
• RQ2 애브램스와 루이스의 알고리즘에서의 비선형 진화가 웨인버그의 비선형 양자역학의 비국소적 특성에 의존하는가?
• RQ3 인과성과 일치하는 비선형 형식이 여전히 양자 검색에서 비제로 해의 수를 신속하게 탐지할 수 있는가?
• RQ4 비선형 진화가 국소적으로 적용될 경우, 예를 들어 단일 플래그 큐비트에만 적용될 경우에만 효과가 있는가?
• RQ5 비선형 진화가 작은 매개변수 변동에 대해 강건하게 s=0과 s>0을 어떻게 구별할 수 있는가?

주요 결과

• 알고리즘에서 사용된 비선형 진화는 비상호작용 시스템 간에 비현실적인 영향을 생성하지 않으며, 웨인버그 형식을 피하기 때문이다.
• 알고리즘은 s=0과 s>0을 성공적으로 구별하며, s=0일 경우 플래그 큐비트의 기대값 ⟨σ₃⟩은 항상 1로 유지되고, s>0일 경우 진동한다.
• s>0 이며 작은 η일 경우, 플래그 큐비트의 상태는 주파수 ωε,α ≈ ε로 진동하며, 이는 1/ε 비례하는 시간 내에 탐지 가능하다.
• 플래그 큐비트에서 |1⟩을 측정할 확률는 정확히 s / 2ⁿ이며, 이는 올바른 스케일링과 비선형 접근법의 타당성을 확인한다.
• 비선형 진화는 단일 큐비트(플래그 큐비트)에 국소적으로 적용되어도 효과적이며, 이는 알고리즘을 단순화하고 인과성을 유지한다.
• 알고리즘의 빠른 성능는 비국소적 효과에서 기인하는 것이 아니라, 비선형 진화가 s=0과 s>0 간의 차이를 증폭시킬 수 있는 능력에서 기인한다.