[논문 리뷰] Notes on Propagation of 3D Buoyant Fluid-Driven Cracks

Dmitry Garagash, L. N. Germanovich|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 31.

Hydraulic Fracturing and Reservoir Analysis인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 부력에 의해 구동되는 유체 균열(다이크)에 대해 3차원 기계적 모델을 개발하며, 균열 너비가 인장 toughness에 의해 지배되는 수압 헤드에 의해 자발적으로 결정되며, 점성 꼬리가 전파 동역학을 지배한다. 주요 기여는 다이크 너비를 암석의 인장 toughness와 부력에 연결하는 폐쇄형 해를 제공함으로써, 유한한 유체 체적으로부터 3차원 다이크 기하학과 전파를 정확하게 예측할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

Magma-driven fractures are the main mechanism for magma emplacement in the crust. A fundamental question is how the released fluid controls the propagation dynamics and fracture geometry (depth and breadth) in three dimensions. Analog experiments in gelatin have shown that fracture breadth remains nearly stationary when the process in the fracture head (where breadth is controlled) is dominated by solid toughness, whereas viscous fluid dissipation is dominant in the fracture tail. We model propagation of the resulting buoyant, finger-like fracture of stationary breadth with a slowly varying opening along the crack length. The elastic response to fluid loading in a horizontal cross-section is local and can be treated similarly to the classical Perkins-Kern-Nordgren (PKN) model of hydraulic fracturing. The propagation condition for a finger-like crack is based on balancing the global energy release rate due to a unit crack extension with the rock fracture toughness. It allows us to relate the net fluid pressure at the tip to the fracture breadth and rock toughness. Unlike laterally propagating PKN fracture, where breadth is known a priori, the final breadth of a finger-like vertically ascending fracture is a result of processes in the fracture head. Because the head is much more open than the tail, viscous pressure drop in the head can be neglected leading to a 3D analog of Weertman hydrostatic pulse. This requires relaxing the local elasticity assumption of the PKN model in the fracture head. As a result, we resolve the breadth, and then match the viscosity-dominated tail with the three dimensions, toughness-dominated head to obtain a complete closed-form solution. We then analyze the buoyancy-driven fracture propagation in conditions of either continuous injection or finite volume release for sets of parameters representative of low viscosity magma diking.

연구 동기 및 목표

• 균열 너비가 사전 설정되지 않고 균열역학에 의해 결정되는 부력에 의해 구동되는 3차원 균열의 기하학을 해결하는 것.
• 3차원 다이크에서 수압에 의해 지배되는 인장 toughness가 지배하는 헤드에서 점성에 의해 지배되는 전파가 지배하는 꼬리로의 전이를 모델링하는 것.
• 유한한 유체 체적 주입을 고려한 다이크 너비와 전파 동역학에 대한 폐쇄형 해를 제공하는 것.
• 고정된 주입 또는 고정된 체적 방출을 사용한 3차원 실험실 실험(젤라틴 다이크)과의 비교를 통해 모델을 검증하는 것.
• 고정된 체적 조건에서 다이크 전파가 멈추지 않고 느려지며, 헤드가 전체 유체를 흡수하지 않는 한 정지하지 않는다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 탄성, 유체 압력, 균열 인장 toughness에 의해 지배되는 가변 너비와 길이를 가진 부력에 의해 구동되는 3차원 균열 모델을 수립한다.
• 점성 꼬리에 대해 PKN 유사 근사법을 적용하여, 일정한 너비와 무시할 만한 탄성 상호작용을 가정한다.
• 균열 헤드에 대해 Weertman의 2차원 수압 펄스의 3차원 유사체를 개발하며, 전역 에너지 균형을 통해 정적 너비를 구한다.
• 인장 toughness에 의해 지배되는 헤드 해와 점성에 의해 지배되는 꼬리 해를 매칭하여, 완전하고 자가 일관된 3차원 다이크 해를 형성한다.
• 점근적 분석을 통해 헤드(수압, 높은 개방) 및 꼬리(박편, 점성 흐름 지배) 영역에 대한 명시적 해를 유도한다.
• 젤라틴 다이크에서의 실험 데이터와 예측된 다이크 너비 및 개방 프로파일을 비교하여 모델을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3차원 부력 다이크의 균열 너비는 전파 과정에서 어떻게 자가조직화되며, 그 최종 값은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ2 필기형 다이크의 최종 너비를 결정하는 데 있어 수압 헤드의 역할은 무엇이며, 2차원 평면변형 모델과는 어떻게 다를까?
• RQ3 유체 체적이 유한할 경우 점성 꼬리가 어떻게 다이크 전파 동역학을 지배하는가?
• RQ4 3차원 헤드 해를 기반으로 한 2차원 PKN 모델이 3차원 다이크 거동을 어느 정도 잘 근사하는가?
• RQ5 다이크가 정지하는 조건은 무엇이며, 헤드와 꼬리 사이의 유체 체적 분할은 전파에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 3차원 부력 다이크의 균열 너비는 인장 toughness에 의해 지배되는 수압 헤드에 의해 결정되며, 폐쇄형 해로 표현된다: $ b_* = 0.396 (\bar{K}/\rho g)^{2/3} $.
• 3차원 수압 헤드 해는 Weertman의 2차원 펄스의 3차원 유사체이며, 정규화된 체적은 0.515로 2차원 경우와 밀접하게 일치한다.
• 점성 꼬리 해는 $ \tilde{\rho} \tilde{t}^{1/3} $ 비례로 스케일되며, 유체 체적이 헤드 용량을 초과할 경우 다이크 길이가 느리게 증가한다.
• 고정된 체적 주입 조건에서는 다이크 전파가 느려지지만, 전체 유체 체적이 헤드에서 소진되지 않는 한 정지하지 않는다.
• 3차원에서 유도된 너비 $ b_* $ 를 입력으로 사용할 경우 2차원 PKN 모델이 3차원 거동을 잘 근사한다.
• 실험적 젤라틴 다이크는 이론적 너비 예측과 양호한 일치를 보였지만, 탱크 벽면 근처에서는 경계 효과로 인해 정확도가 저하될 수 있다.