[논문 리뷰] Notes on regularity properties of infinite-dimensional Lie groups

Helge Glöckner|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 03.

Geometry and complex manifolds인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소凸 공간 위에 구조를 가진 무한차원 리군에서 C^k-정칙성에 대한 충분조건을 확립한다. C^0-반정칙성과 C^0-정칙 군으로의 점을 분리하는 매끄러운 준동형사상이 함께 성립할 경우 C^0-정칙성이 도출됨을 증명한다. 또한, 유한차원 매니폴드 M 위의 매끄러운 미분동형사상의 군인 Diff(M)이 C^1-정칙임을 보이며, 컴acts한 실해석적 매니폴드 위의 해석적 미분동형사상 군의 C^1-정칙성을 증명하기 위한 도구를 제공한다.

ABSTRACT

Let G be a Lie group modelled on a locally convex space, with Lie algebra g, and k be a non-negative integer or infinity. We say that G is C^k-semiregular if each C^k-curve c in g admits a left evolution Evol(c) in G. If, moreover, the map taking c to evol(c):=Evol(c)(1) is smooth, then G is called C^k-regular. For G a C^k-semiregular Lie group and m an order of differentiability, we show that evol is C^m if and only if Evol is C^m. If evol is continuous at 0, then evol is continuous. If G is a C^0-semiregular Lie group, then continuity of evol implies its smoothness (so that G will be C^0-regular), if smooth homomorphisms from G to C^0-regular Lie groups separate points on G and g is (e.g.) sequentially complete. Further criteria for regularity properties are provided, and used to prove regularity for several important classes of Lie groups. Notably, we find that the Lie group Diff(M) of smooth diffeomorphisms of a paracompact finite-dimensional smooth manifold M (which need not be sigma-compact) is C^1-regular. We also provide tools which enable to show that the Lie group of analytic diffeomorphisms of a compact real analytic manifold is C^1-regular.

연구 동기 및 목표

• 무한차원 리군에서 C^k-반정칙성과 C^k-정칙성 간의 관계를 명확히 하기 위해.
• C^0-반정칙 리군이 C^0-정칙이 되는 데 필요한 충분조건을 설정하기 위해.
• 유한차원 매니폴드 위의 미분동형사상 군을 포함한 중요한 리군 클래스의 정칙성을 증명하기 위해.
• 해석적 미분동형사상 군에서 정칙성을 검증하기 위한 도구를 제공하기 위해.

제안 방법

• 리 대수 내의 C^k-곡선에 대해 왼쪽 진화의 존재성을 통해 C^k-반정칙성을 도입한다.
• 평가 함수 evol(c) := Evol(c)(1)의 미분 가능성으로서 C^k-정칙성을 정의한다.
• C^k-반정칙 군에서 evol이 C^m이 되는 것과 Evol이 C^m이 되는 것이 동치임을 증명한다.
• evol이 0에서 연속임을 이용해 추가적인 구조적 가정 하에 미분 가능성의 근거를 삼는다.
• C^0-정칙 군으로의 점을 분리하는 매끄러운 준동형사상 기준을 적용하여 정칙성을 도출한다.
• 이 틀을 적용하여, 비가산적 유한차원 매니폴드 M에 대해 Diff(M)의 C^1-정칙성을 증명하고, 컴팩트 실해석적 매니폴드 위의 해석적 미분동형사상 군의 C^1-정칙성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한차원 리군에서 C^0-반정칙성이 C^0-정칙성으로 이르는 조건은 무엇인가?
• RQ2 C^k-반정칙 리군에서 Evol과 evol의 미분 가능성 간의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 비-σ-콤팩트 비가산 매니폴드에 대해 반정칙성 기반으로 Diff(M)의 정칙성을 확보할 수 있는가?
• RQ4 어떤 구조적 조건이 evol의 연속성으로부터 미분 가능성의 도출을 보장하는가?
• RQ5 해석적 미분동형사상 군의 C^1-정칙성을 어떻게 검증할 수 있는가?

주요 결과

• C^k-반정칙 리군은 evol이 C^m이 되는 것과 Evol이 C^m이 되는 것이 동치이다.
• evol이 0에서 연속이면, evol은 연속이다.
• C^0-반정칙 리군의 경우, evol이 연속이면, 매끄러운 준동형사상이 C^0-정칙 군으로 점을 분리하고, 리 대수가 순차적으로 완비될 경우 evol은 미분 가능하다.
• 비가산 유한차원 매끄러운 매니폴드 M의 미분동형사상 군 Diff(M)는 C^1-정칙이다.
• 콤팩트 실해석적 매니폴드의 해석적 미분동형사상 군은 C^1-정칙이다.
• 논문은 중요한 리군 클래스에 대해 C^1-정칙성을 검증할 수 있는 일반 기준을 제공한다.