[논문 리뷰] Notes on Simple Modules over Leavitt Path Algebras

Kulumani M. Rangaswamy|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 25.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 유向 그래프 $E$ 의 무한 발산 정점을 사용하여 Leavitt path 대수 $L_K(E)$ 상에서 새로운 단순 왼쪽 $L_K(E)$-모듈의 클래스를 도입하고, 그들의 소멸하는 원시 이상을 구성하며, 임의의 아이디포텐트들의 부반환을 통해 비이소모피즘 단순 모듈의 수에 대한 경계를 제공한다. 주요 결과는 $L_K(E)$ 가 가산 차원을 가지며 단순하다면, 그 단순 모듈의 이소모피즘 유형은 정확히 하나 또는 최소 $2^{ aleph_0}$ 개가 존재한다는 것이다.

ABSTRACT

Given an arbitrary graph E and any field K, a new class of simple left modules over the Leavitt path algebra L of the graph E over K is constructed by using vertices that emit infinitely many edges. The corresponding annihilating primitive ideals are described and is used to show that these new class of simple L-modules are different from(that is non-isomorphic to) any of the previously known simple modules. Using a Boolean subring of idempotents induced by paths in E, bounds for the cardinality of the set of distinct isomorphism classes of simple L-modules are given. We also append other information about the Leavitt path algebra L(E) of a finite graph E over which every simple left module is finitely presented.

연구 동기 및 목표

• 그래프 $E$ 에서 무한히 많은 간선을 발산하는 정점을 사용하여 새로운 단순 왼쪽 $L_K(E)$-모듈의 클래스를 구성한다.
• 이 새로운 단순 모듈의 소멸하는 원시 이상을 묘사하고, 이들이 이전에 알려진 클래스와 이소모픽이 아니라는 것을 보여준다.
• 서로 다른 단순 $L_K(E)$-모듈의 집합의 기수에 대한 상한과 하한을, 서로 가환하는 아이디포텐트들의 부반환을 사용하여 수립한다.
• 모든 단순 모듈이 유한 생성임을 보장하는 Leavitt path 대수에 대한 결과를 정교화하고 단순화하며, 특히 유한 그래프의 경우에 중점을 둔다.

제안 방법

• 무한 발산 정점에서 시작하는 경로로 생성된 벡터 공간 위에 작용을 정의하여 새로운 단순 $L_K(E)$-모듈을 구성한다.
• 그래프의 구조와 $L_K(E)$ 내의 CK-1 및 CK-2 관계를 이용하여 모듈 작용이 일관되게 정의되도록 한다.
• Rosenberg의 방법을 적용하여 각 단순 모듈의 이소모피즘 유형의 크기를 $L_K(E)$ 의 기수로 경계한다.
• 경로로부터 생성된 $L_K(E)$ 내의 서로 가환하는 아이디포텐트들의 부반환을 활용하여, 비이소모피즘 단순 모듈의 수에 대한 하한을 유도한다.
• 문헌 [6] 및 [12] 의 기법을 변형하여, 모든 단순 모듈이 유한 생성일 경우 $L_K(E)$ 의 구조를 분석한다.
• 유도된 포화된 부분집합 $H_n$ 에 대한 귀납법을 통해 계승적인 그레이드 이상 $I_n$ 을 구축하고, 몫 대수 $L/I_n$ 을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프 $E$ 의 무한 발산 정점을 사용하여 $L_K(E)$ 상에서 새로운 단순 모듈의 클래스를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 새로운 단순 모듈의 소멸하는 원시 이상은 이전에 알려진 단순 모듈의 것들과 다를까?
• RQ3 서로 다른 단순 $L_K(E)$-모듈의 수에 대한 상한과 하한은 무엇이며, 그래프의 구조에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 모든 단순 $L_K(E)$-모듈이 유한 생성이며, 그 경우 $L_K(E)$ 는 어떤 구조적 성질을 갖는가?

주요 결과

• 무한 발산 정점을 사용하여 새로운 단순 왼쪽 $L_K(E)$-모듈의 클래스를 구성하였고, 그들의 소멸하는 원시 이상을 명시적으로 묘사하였다.
• 이 새로운 단순 모듈은 [10], [12], 또는 [14] 에서 구성된 어떤 단순 모듈과도 이소모픽이 아니며, 그들의 독창성을 입증하였다.
• Rosenberg의 방법을 통해 임의의 단일 이소모피즘 유형의 단순 $L_K(E)$-모듈의 기수는 $|L_K(E)|$ 이하임을 보였다.
• 서로 가환하는 아이디포텐트들의 부반환을 통해 $L_K(E)$ 내에서 비이소모피즘 단순 모듈의 수에 대한 하한을 도출하였다.
• 만약 $L_K(E)$ 가 가산 차원을 가지며 단순하다면, 그 단순 모듈의 이소모피즘 유형은 정확히 하나 또는 최소 $2^{\aleph_0}$ 개가 존재한다.
• 유한 그래프 $E$ 에 대해, 모든 단순 $L_K(E)$-모듈이 유한 생성이라면, $L_K(E)$ 는 $K$ 또는 $K[x,x^{-1}]$ 상의 행렬 대수와 이sov모픽인 몫 대수를 갖는 계승적인 그레이드 이상 $I_n$ 을 가질 것이며, 모든 최대 왼쪽 이상은 순환적이다.