[논문 리뷰] Notes on $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ representations

Alexei Kitaev|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 22.

Algebraic and Geometric Analysis참고 문헌 7인용 수 39

한 줄 요약

이 논문은 $;\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$의 유니터리 및 비유니터리 표현에 대해 물리학적으로 중심적인 접근을 제공하며, 행렬 원소, 카시미르 고유함수, 플랑커렐 측도에 대한 명시적 공식을 포함한다. 이는 허수 평면과 2차원 반데시터 공간에서의 스피너와의 연결을 수립하고, 클렙슈-고르단 계수 및 명시적 정규화를 가진 인버티언터를 사용하여 유니터리 기약 표현의 텐서곱 분해를 유도한다.

ABSTRACT

These notes describe representations of the universal cover of $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ with a view toward applications in physics. Spinors on the hyperbolic plane and the two-dimensional anti-de Sitter space are also discussed.

연구 동기 및 목표

• 시간순서화된 상관관계 함수의 대칭군으로서 $;\tilde{\mathfrak{G}}$의 유니버설 커버를 사용하여 $;\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ 표현 이론에 대한 접근성을 유지하면서도 기술적으로 세밀한 기술을 제공함으로써 양자장론과 샤세브-예-키타에브(SYK) 모델에의 응용을 동기화한다.
• 유니터리 기약 표현에 대한 행렬 원소, 카시미르 고유함수, 플랑커렐 측도에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• $;\tilde{\mathfrak{G}}$에서의 카시미르 고유함수와 허수 평면 및 2차원 반데시터 공간($\mathrm{AdS}_2$)에서의 스피너 사이의 대응관계를 수립한다.
• 클렙슈-고르단 계수 및 인버티언터를 통해 유니터리 기약 표현의 텐서곱 분해를 계산한다.
• 연속계 및 이산계에서의 인버티언터에 대한 명시적 정규화 인자 제공을 통해 상관관계 함수 및 양자 중력 모델 등 물리적 응용을 가능하게 한다.

제안 방법

• SYK 모델에서 시간순서화된 상관관계 함수에 대해 $\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$의 유니버설 커버인 $;\tilde{\mathfrak{G}}$를 대칭군으로 사용하며, 실수 시간을 단위 원주로 매핑하는 $z = \exp(2\pi t/\beta)$를 적용한다.
• 좌우 군 작용과 카시미르 고유함수를 사용하여 $\tilde{\mathfrak{G}}$에서의 푸리에 변환을 적용함으로써 플랑커렐 측도를 도출한다.
• 군에서의 $L$- 및 $R$-작용을 사용하여 기약 표현에 대한 행렬 원소와 플랑커렐 측도를 유도하며, 구체적인 표현을 초함수 함수를 통해 기술한다.
• 두 가지 표준 게이지와 공간의 복소 임bedding을 사용하여 카시미르 방정식의 해로서 $\mathrm{H}^2$ 및 $\mathrm{AdS}_2$에서의 스피너를 구성한다.
• 유니터리 기약 표현 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{+}_{\lambda_2}$ 및 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{-}_{\lambda_2}$의 텐서곱에 대한 클렙슈-고르단 계수를 계산하고, 인버티언터 노름을 통해 명시적 정규화를 수행한다.
• 프로젝터 $\Pi^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda}$를 사용하여 텐서곱 공간에서의 항등원의 전체 분해를 도출하며, 초함수 함수와 감마 함수를 포함한 명시적 표현을 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물리적 응용을 위해 $;\tilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$의 유니터리 및 비유니터리 표현을 체계적으로 분류하고 매개변수화할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 기약 표현에 대한 행렬 원소와 플랑커렐 측도의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 $;\tilde{\mathfrak{G}}$에서의 카시미르 고유함수와 허수 평면 및 2차원 반데시터 공간에서의 스피너 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유니터리 기약 표현의 텐서곱 분해의 구조는 어떠한가?
• RQ5 연속계, 이산계, 보완계 표현에서의 인버티언터에 대한 정규화 인자는 무엇인가?

주요 결과

• 연속계 $\mathcal{D}^{+}_{1/2+is}$의 플랑커렐 측도는 $\frac{2s \sinh(2\pi s) |\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1/2 - is)|^2}{\cosh(2\pi s) + \cos(2\pi\nu)}$로 주어지며, 인버티언터 $\Upsilon^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;1/2+is}$의 정규화는 $\frac{\cosh(2\pi s) + \cos(2\pi\nu)}{2s \sinh(2\pi s) |\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1/2 - is)|^2} \delta(s - s') \mathbf{1}^\nu_{1/2+is}$이다.
• 이산계 $\mathcal{D}^{+}_{\lambda}$에서 $\lambda = \lambda_1 - \lambda_2 - p > 1/2$일 경우, 인버티언터의 노름은 $\frac{1}{(2\lambda - 1) \Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - \lambda) \Gamma(\lambda_1 + \lambda_2 - 1 + \lambda)} \mathbf{1}^+_{\lambda}$이다.
• 보완계에서 $\lambda = \lambda_1 + \lambda_2 < 1/2$일 경우, 인버티언터의 노름은 $\frac{\sin(2\pi\lambda_1) \sin(2\pi\lambda_2) \Gamma(1 - 2\lambda)}{\pi^2} \mathbf{1}^\nu_{\lambda}$이다.
• $\mathcal{D}^{+}_{\lambda_1} \otimes \mathcal{D}^{-}_{\lambda_2}$의 텐서곱 분해에는 주어진 플랑커렐 측도를 가진 $s \in (0, \infty)$에 대한 연속적 적분, $\lambda = |\nu| - p > 1/2$인 이산계에 대한 합, 그리고 $\lambda_1 + \lambda_2 < 1/2$일 경우 보완계 항이 포함된다.
• 프로젝터 $\tilde{\Pi}^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda}$는 $v = \frac{(z_1 - w_2)(z_2 - w_1)}{(z_1 - w_1)(z_2 - w_2)}$를 변수로 하는 초함수 함수 $\mathbf{F}(\lambda + \nu, \lambda - \nu, 1; v)$로 표현되며, 클렙슈-고르단 계수의 생성함수를 제공한다.
• 클렙슈-고르단 계수의 부분 생성함수에서 $m = \nu$일 경우, 이산계에 대해서는 $\tilde{Y}^{+-}_{\lambda_1,\lambda_2;\lambda,\nu}(z_1,z_2) = z_1^{\lambda_1} z_2^{-\lambda_2 - p} (1 - z_1/z_2)^{-2\lambda_2 - p}$이며, 보완계에 대해서는 $z_1^{\lambda_1} z_2^{\lambda_2} \mathbf{F}(\lambda_1, \lambda_2, 1; z_1/z_2)$이다.