[논문 리뷰] Novel anomalous diffusion phenomena of underdamped Langevin equation with random parameters

Yao Chen, Xudong Wang|arXiv (Cornell University)|2021. 10. 12.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 76인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 시간에 따라 변화하는 속도 확산도와 무작위로 변하는 감쇠 시간 상수 τ를 갖는 비가속도 랑주반 시스템에서의 비정상 확산을 조사한다. 무작위로 변하는 τ의 분포가 속도 상관성의 감쇠를 억제하고 확산을 강화함을 보이며, 이는 시간에 따라 변화하는 확산도와 경쟁하여 비자명한 에르고딕성 파괴와 초과확산 행동을 유도한다. 이는 유한한 모멘트를 갖는다 하더라도 발생한다.

ABSTRACT

The diffusion behavior of particles moving in complex heterogeneous environment is a very topical issue. We characterize particle's trajectory via an underdamped Langevin system driven by a Gaussian white noise with a time dependent diffusivity of velocity, together with a random relaxation timescale $ au$ to parameterize the effect of complex medium. We mainly concern how the random parameter $ au$ influences the diffusion behavior and ergodic property of this Langevin system. Besides, the comparison between the fixed and random initial velocity $v_0$ is conducted to show the effect of different initial ensembles. The heavy-tailed distribution of $ au$ with finite mean is found to suppress the decay rate of the velocity correlation function and promote the diffusion behavior, playing a competition role to the time dependent diffusivity. More interestingly, a random $v_0$ with a specific distribution depending on random $ au$ also enhances the diffusion. Both the random parameters $ au$ and $v_0$ influence the dynamics of the Langevin system in an non-obvious way, which cannot be ignored even they has finite moments.

연구 동기 및 목표

• 랜덤한 감쇠 시간 상수 τ가 비가속도 랑주반 시스템에서 비정상 확산과 에르고딕성에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 시간에 따라 변화하는 확산도와 랜덤한 τ 간의 경쟁이 확산 행동을 어떻게 결정하는지 분석하는 것.
• 특히 τ에 의존하는 분포를 갖는 랜덤한 初기 속도 v₀이 확산과 에르고딕성에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 시간 평균 평균 제곱 이동(TAMSD)과 집합 평균 평균 제곱 이동(EAMSD)을 통해 에르고딕 성질을 비교하는 것.
• 유한한 모멘트를 갖는 무거운 尾를 가진 τ와 v₀ 분포가 기존 모델을 초월하여 비자명한 비정상 확산을 어떻게 유도하는지 정량화하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변화하는 확산도 νt^{β−1}와 무작위로 추출된 감쇠 시간 상수 τ(수정된 레비 분포에서 유래)를 갖는 비가속도 랑주반 방정식을 수립한다.
• 복잡한 이질성 매질을 모델링하기 위해 τ에 대해 수정된 레비 분포를 사용하며, 유한한 평균 ⟨τ⟩을 확보하면서도 두꺼운 尾를 허용한다.
• 레비 분포의 적분 표현을 활용하여 라플라스 변환 및 역라플라스 변환 방법을 통해 τ에 대한 평균을 취함으로써 속도 상관 함수를 평가한다.
• EAMSD와 TAMSD에 대한 해석적 표현을 유도하며, 큰 시간과 지연 시간에 대한 渐近적 행동도 포함한다.
• 궤적 시뮬레이션을 위해 레비 분포에서 τ를 역변환 샘플링 기법을 적용하여 수치적으로 생성한다.
• 고정된 vs. 랜덤한 τ, 고정된 vs. 랜덤한 v₀를 비교함으로써 각각의 효과와 병합 효과를 분리하여 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감쇠 시간 상수 τ의 두꺼운 尾 분포가 비가속도 랑주반 시스템에서 속도 상관 함수와 확산 역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 시간에 따라 변화하는 확산도 νt^{β−1}가 랜덤한 τ와 경쟁하면서 비정상 확산 지수를 어떻게 결정하는가?
• RQ3 특히 τ에 의존하는 분포를 갖는 랜덤한 初기 속도 v₀가 확산 행동과 에르고딕성 파괴에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 유한한 모멘트를 갖는 두꺼운 尾를 가진 τ와 v₀ 분포가 비에르고딕성 초과확산 행동을 얼마나 유도하는가?
• RQ5 랜덤한 τ와 v₀가 존재할 때 TAMSD와 EAMSD는 어떻게 비교되며, 이는 복잡한 매질에서 단일 입자 추적에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 유한한 평균을 갖는 두꺼운 尾를 가진 τ 분포는 속도 상관 함수의 감쇠 속도를 억제하여, 시간에 따라 변화하는 확산도가 이를 느리게 하더라도 초과확산 행동을 촉진한다.
• 시간에 따라 변화하는 확산도와 랜덤한 τ 간의 경쟁은 부분확산에서 초과확산으로의 비단조적 전이를 유도하며, 특정한 τ와 β 값에서 비정상 지수 μ > 1을 관찰할 수 있다.
• 랜덤한 初기 속도 v₀, 특히 τ에 의존하는 분포를 갖는 경우, τ의 영향만으로도 초과확산을 더욱 강화시키며, 초기 조건과 매질의 이질성 간 비자명한 결합을 시사한다.
• 집합 평균 TAMSD는 ⟨δ²(∆)⟩ ≃ ν(1+α)⟨τ⟩/(C)^αΓ(2−α) ∆^{2−α}로 스케일링되며, 지수 2−α < 2이므로 초과확산 행동임을 나타내며, 이는 비정상 확산과 일치한다.
• 에르고딕성 파괴가 관찰된다: TAMSD와 EAMSD는 유한한 모멘트를 갖는다 하더라도 무작위로 변하는 τ와 v₀에 의해 수렴하지 않으며, 이는 비에르고딕성의 특성 때문이다.
• EAMSD와 TAMSD에 대한 해석적 표현은 渐近적 분석과 수치 시뮬레이션을 통해 검증되었으며, 큰 시간과 지연 시간에서 이론적 예측과 양호한 일치를 보였다.